数列极限的存在性问题

单调有界准则

书本上的例子主要使用单调有界准则来证明极限的存在性。

• 如果一个数列有下界且单调递减，则该数列必定有极限。
• 如果一个数列有上界且单调递增，则该数列必定有极限。

解这类“递推公式”给出的数列极限问题，标准步骤通常为：

1. 证明有界性： 利用基本不等式（如均值不等式）或数学归纳法。
2. 证明单调性： 通过作差法（$a_{n+1} - a_n$）判断符号。
3. 求极限（如有需要）： 在递推公式两边同时取极限，解方程求出极限值。

例题

例 1 设 $a_1 = 2, a_{n+1} = \frac{1}{2}\left(a_n + \frac{1}{a_n}\right)$，证明：$\lim_{n \to \infty} a_n$ 存在.

证明： 显然 $a_n > 0 (n = 1,2,\cdots)$.

由 $a_{n+1} = \frac{1}{2}\left(a_n + \frac{1}{a_n}\right) \ge \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{a_n \cdot \frac{1}{a_n}} = 1$，得数列 $\{a_n\}$ 有下界；

再由 $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{2}\left(a_n + \frac{1}{a_n}\right) - a_n = \frac{1 - a_n^2}{2a_n} \le 0$，得数列 $\{a_n\}$ 单调递减.

由数列单调递减且有下界，可得 $\lim_{n \to \infty} a_n$ 存在.

例 2 设 $0 < a_1 < 2, a_{n+1} = \sqrt{a_n(2 - a_n)}$，证明：$\lim_{n \to \infty} a_n$ 存在.

证明： 由 $a_{n+1} = \sqrt{a_n(2 - a_n)} \le \frac{a_n + (2 - a_n)}{2} = 1$，

$a_{n+1} - a_n = \sqrt{a_n(2 - a_n)} - a_n = \frac{2a_n(1 - a_n)}{\sqrt{a_n(2 - a_n)} + a_n} \ge 0$

得数列 $\{a_n\}$ 单调递增有上界，故 $\lim_{n \to \infty} a_n$ 存在.

例 3 设 $a_1 = \sqrt{2}, a_2 = \sqrt{2 + \sqrt{2}}, a_3 = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}, \cdots$，证明：$\lim_{n \to \infty} a_n$ 存在并求此极限.

证明： 递推关系为 $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$，显然 $\{a_n\}$ 单调递增且 $a_n > 0$.

$a_1 = \sqrt{2} \le 2$，设 $a_k \le 2$，从而 $a_{k+1} = \sqrt{a_k + 2} \le \sqrt{2 + 2} = 2$，由数学归纳法得 $a_n \le 2$，则 $\lim_{n \to \infty} a_n$ 存在.

令 $\lim_{n \to \infty} a_n = A > 0$，对 $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ 两边同时求极限，得 $A = \sqrt{2 + A}$，解得 $A = 2$，即 $\lim_{n \to \infty} a_n = 2$.

2026/8/8
基础阶段给的方法不多，未来进阶学到新的了再补充。
今天花了不少时间，不过主要是重做了遍之前求极限的例题。
明天赶紧过了连续性和间断点部分进函数篇