夹逼准则：识别与常见套路

一、夹逼准则

若在某个变化过程中

$$g(x)\le f(x)\le h(x),$$

且

$$\lim g(x)=\lim h(x)=A,$$

则

$$\boxed{\lim f(x)=A}.$$

核心思想是：目标函数不好直接求极限，但容易找到上下界，并且上下界趋于同一个值。

最常用的绝对值形式

若

$$|f(x)|\le g(x),\qquad g(x)\to0,$$

则

$$\boxed{f(x)\to0}.$$

因为 $-g(x)\le f(x)\le g(x)$。

由此立即得到一个常用结论：若 $|f(x)|\le M$、$g(x)\to0$，则

$$\boxed{f(x)g(x)\to0}.$$

即

$$\boxed{\text{有界量}\times\text{无穷小}=\text{无穷小}}.$$

二、什么时候想到夹逼

出现以下信号时，应考虑夹逼准则：

1. 含有振荡但有界的函数，如 $\sin x$、$\cos x$；
2. 主项明确，但误差项不好直接求极限；
3. 原函数复杂，但其中某部分有明显取值范围；
4. 需要严格证明某个复杂函数与主项等价；
5. 正项求和中，每一项都容易估计上下界。

最值得形成条件反射的结构是

$$\boxed{\text{有界函数}\times\text{趋于 }0\text{ 的函数}}.$$

常用的界包括

$$|\sin x|\le1,\qquad |\cos x|\le1,\qquad |f(x)|\le M.$$

三、三个常用套路

1. 绝对值夹逼到 $0$

证明

$$|f(x)|\le g(x),\qquad g(x)\to0,$$

即可得到 $f(x)\to0$。

例如，当 $x\to+\infty$ 时，

$$\left|\frac{\sin x}{x}\right| \le\frac1x\to0,$$

所以

$$\boxed{\frac{\sin x}{x}\to0}.$$

2. 控制相对于主项的误差

若

$$f(x)=g(x)+r(x),$$

并且

$$\frac{r(x)}{g(x)}\to0,$$

则

$$\boxed{f(x)\sim g(x)}.$$

例如

$$\frac{3x^2+2x\sin x+1}{x^2} =3+\frac{2\sin x}{x}+\frac1{x^2}.$$

由于

$$\left|\frac{2\sin x}{x}\right|\le\frac2x\to0,$$

故

$$\boxed{ \frac{3x^2+2x\sin x+1}{x^2}\to3 }.$$

这里真正需要夹逼的只有误差项 $2x\sin x$，不必对整个式子夹逼。

3. 夹出等价关系

若

$$A(x)\le f(x)\le B(x),$$

并且

$$\frac{A(x)}{g(x)}\to1, \qquad \frac{B(x)}{g(x)}\to1,$$

则

$$\boxed{f(x)\sim g(x)}.$$

例如，当 $x\to+\infty$ 时，充分大的 $x$ 满足 $x\le e^{x^2}$，因此

$$e^{x^2} \le e^{x^2}+x \le2e^{x^2}.$$

取对数并除以 $x^2$，得到

$$1 \le \frac{\ln(e^{x^2}+x)}{x^2} \le 1+\frac{\ln2}{x^2}.$$

所以

$$\boxed{\ln(e^{x^2}+x)\sim x^2}.$$

四、正项求和的夹逼

若对所有 $k$ 都有

$$m_n\le a_k\le M_n,$$

则

$$\boxed{ nm_n \le \sum_{k=1}^{n}a_k \le nM_n }.$$

数列极限中经常通过“每一项的最小值 × 项数”和“每一项的最大值 × 项数”构造上下界。