定积分的基本性质与常用方法

一、微分与换元基础

这一部分主要用于理解积分中的 $dx$、$du$、$d(\pi x)$ 等写法。

1. 微分的基本形式

若 $u=g(x)$，则

$$\boxed{du=g'(x)\,dx}$$

它在积分中最重要的用途是换元。例如，令 $u=\pi x$，则

$$du=\pi\,dx,\qquad dx=\frac{1}{\pi}\,du$$

也可以写成 $\boxed{d(\pi x)=\pi\,dx}$。

二、定积分的基本计算与运算法则

1. 定积分的计算

若 $F'(x)=f(x)$，则

$$\boxed{ \int_a^b f(x)\,dx =[F(x)]_a^b =F(b)-F(a) }$$

例如，$[F(x)]_0^1$ 表示 $F(1)-F(0)$。

2. 线性性质

积分相加

上下限相同时：

$$\boxed{ \int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx =\int_a^b[f(x)+g(x)]\,dx }$$

例如：

$$\begin{aligned} &\int_0^\pi x\sin^2x\,dx +\int_0^\pi(\pi-x)\sin^2x\,dx\\ &=\int_0^\pi[x+(\pi-x)]\sin^2x\,dx \end{aligned}$$

积分相减

$$\boxed{ \int_a^b f(x)\,dx-\int_a^b g(x)\,dx =\int_a^b[f(x)-g(x)]\,dx }$$

常数提出积分号

$$\boxed{ \int_a^b C f(x)\,dx =C\int_a^b f(x)\,dx }$$

例如，$\int_0^\pi\pi\sin^2x\,dx=\pi\int_0^\pi\sin^2x\,dx$。

3. 积分区间的性质

区间可拆分

$$\boxed{ \int_a^b f(x)\,dx =\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx }$$

例如：

$$\int_0^\pi f(x)\,dx =\int_0^{\pi/2}f(x)\,dx+\int_{\pi/2}^{\pi}f(x)\,dx$$

交换上下限

$$\boxed{ \int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx }$$

上下限相等

$$\boxed{\int_a^a f(x)\,dx=0}$$

三、两种重要的积分方法

1. 换元积分

核心思想

当积分中同时出现复合结构 $g(x)$ 及其微分形式 $g'(x)\,dx$ 时，可以考虑令

$$\boxed{u=g(x)},\qquad \boxed{du=g'(x)\,dx}$$

目的是把复杂积分转化为较简单的积分。

定积分换元的步骤

步骤： 换函数 → 换 $dx$ → 换上下限 → 整理。

例如：

$$\int_0^1x\sin^2(\pi x)\,dx$$

令 $u=\pi x$，则

$$x=\frac{u}{\pi},\qquad du=\pi\,dx,\qquad dx=\frac{1}{\pi}\,du$$

上下限随之变为：

$$x=0\Rightarrow u=0,\qquad x=1\Rightarrow u=\pi$$

因此

$$\boxed{ \int_0^1x\sin^2(\pi x)\,dx =\frac{1}{\pi^2}\int_0^\pi u\sin^2u\,du }$$

其中，$\frac{1}{\pi^2}$ 分别来自 $x=\frac{u}{\pi}$ 和 $dx=\frac{du}{\pi}$。

2. 分部积分

公式

$$\boxed{\int u\,dv=uv-\int v\,du}$$

对于定积分：

$$\boxed{ \int_a^b u\,dv=[uv]_a^b-\int_a^b v\,du }$$

适用情形

常见情形包括：

• 含有 $\ln(\cdots)$；
• 两种不同类型的函数相乘；
• $x$ 与三角函数相乘；
• $x$ 与指数函数相乘。

例如，将 $\int\ln(1+x^2)\,dx$ 看作 $\int\ln(1+x^2)\cdot1\,dx$，取

$$u=\ln(1+x^2),\qquad dv=dx$$

则

$$du=\frac{2x}{1+x^2}\,dx,\qquad v=x$$

代入分部积分公式：

$$\boxed{ \int\ln(1+x^2)\,dx =x\ln(1+x^2)-2\int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx }$$

然后继续化简右侧的积分。

四、平方三角函数的处理

遇到 $\sin^2x$ 或 $\cos^2x$ 时，通常先使用降幂公式：

$$\boxed{\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}},\qquad \boxed{\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}}$$

例如：

$$\int\sin^2x\,dx =\frac{1}{2}\int(1-\cos2x)\,dx$$

所以

$$\boxed{ \int\sin^2x\,dx =\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}+C }$$

两个常用结果为：

$$\boxed{ \int_0^\pi\sin^2x\,dx =\int_0^\pi\cos^2x\,dx =\frac{\pi}{2} }$$

五、定积分的对称性

这是之前那道题最容易卡住的部分。

1. 基本思想

对于 $\int_0^a f(x)\,dx$，可以尝试作变换 $x\mapsto a-x$，得到

$$\boxed{ \int_0^a f(x)\,dx =\int_0^a f(a-x)\,dx }$$

这称为定积分的对称变换。

2. 例题中的应用

设

$$I=\int_0^\pi x\sin^2x\,dx$$

因为 $\sin(\pi-x)=\sin x$，所以 $\sin^2(\pi-x)=\sin^2x$。作对称变换后：

$$I=\int_0^\pi(\pi-x)\sin^2x\,dx$$

与原式相加：

$$\begin{aligned} 2I &=\int_0^\pi x\sin^2x\,dx +\int_0^\pi(\pi-x)\sin^2x\,dx\\ &=\int_0^\pi[x+(\pi-x)]\sin^2x\,dx\\ &=\pi\int_0^\pi\sin^2x\,dx \end{aligned}$$

因此

$$\boxed{ I=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi\sin^2x\,dx }$$

3. 含有 $x$ 因子的常用对称公式

若 $f$ 关于区间 $[a,b]$ 的中点 $x=\frac{a+b}{2}$ 对称，即

$$f(a+b-x)=f(x)$$

则

$$\boxed{ \int_a^b xf(x)\,dx =\frac{a+b}{2}\int_a^b f(x)\,dx }$$

这是因为作对称变换 $x\mapsto a+b-x$ 后，若记 $I=\int_a^b xf(x)\,dx$，则

$$I=\int_a^b(a+b-x)f(x)\,dx$$

两式相加即可得到上述结论。当积分区间为 $[0,a]$ 时，它可写成

$$\int_0^a xf(x)\,dx =\frac{a}{2}\int_0^a f(x)\,dx$$

前面的例题中，$a=\pi$，$f(x)=\sin^2x$，因此

$$\int_0^\pi x\sin^2x\,dx =\frac{\pi}{2}\int_0^\pi\sin^2x\,dx$$

4. 对称区间上的奇偶性

以下结论的积分区间必须关于原点对称，即形如 $[-a,a]$。

偶函数

若 $f(-x)=f(x)$，则左右两部分的积分相等，因此

$$\boxed{\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_0^a f(x)\,dx}$$

等价地，

$$\int_{-a}^0f(x)\,dx=\int_0^a f(x)\,dx$$

奇函数

若 $f(-x)=-f(x)$，则左右两部分的积分大小相等、符号相反，因此

$$\boxed{\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0}$$

等价地，

$$\int_{-a}^0f(x)\,dx=-\int_0^a f(x)\,dx$$

5. 关于任意对称中心的推广

上述结论可以从原点推广到任意对称中心 $x=c$。

关于 $x=c$ 偶对称

若 $f(c-x)=f(c+x)$，则

$$\boxed{ \int_{c-a}^{c+a}f(x)\,dx =2\int_c^{c+a}f(x)\,dx =2\int_{c-a}^c f(x)\,dx }$$

关于 $x=c$ 奇对称

若 $f(c-x)=-f(c+x)$，则

$$\boxed{\int_{c-a}^{c+a}f(x)\,dx=0}$$

6. 变上限积分的奇偶性

定义

$$F(x)=\int_0^x f(t)\,dt$$

则有如下“奇偶互换”规律：

• $f$ 是偶函数，$F$ 是奇函数；
• $f$ 是奇函数，$F$ 是偶函数。

重点： 偶函数从 $0$ 积到 $x$ 得到奇函数；奇函数从 $0$ 积到 $x$ 得到偶函数。

7. 使用条件

使用上述结论时，需要满足以下条件：

• 函数在相应区间上可积；
• 函数的定义域具有相应的对称性；
• 积分区间关于对应的对称中心对称。

例如，$[-1,2]$ 不关于原点对称，因此即使 $f(x)$ 是奇函数或偶函数，也不能直接套用对称区间上的积分结论。

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目前我还没有学到微积分部分，
但是不知道为什么题目中却有相关的内容，
只能顺便看一看了。
31号就要开学了，学习节奏又要被打乱了。
我从来没觉得上学开心过😭。