一、微分与换元基础

这一部分主要用于理解积分中的 dxdx、dudu、d(πx)d(\pi x) 等写法。

1. 微分的基本形式

若 u=g(x)u=g(x)，则

du=g′(x) dx\boxed{du=g'(x)\,dx}

它在积分中最重要的用途是换元。例如，令 u=πxu=\pi x，则

du=π dx,dx=1π dudu=\pi\,dx,\qquad dx=\frac{1}{\pi}\,du

也可以写成 d(πx)=π dx\boxed{d(\pi x)=\pi\,dx}。

二、定积分的基本计算与运算法则

1. 定积分的计算

若 F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)，则

∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\boxed{ \int_a^b f(x)\,dx =[F(x)]_a^b =F(b)-F(a) }

例如，[F(x)]01[F(x)]_0^1 表示 F(1)−F(0)F(1)-F(0)。

2. 线性性质

积分相加

上下限相同时：

∫abf(x) dx+∫abg(x) dx=∫ab[f(x)+g(x)] dx\boxed{ \int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx =\int_a^b[f(x)+g(x)]\,dx }

例如：

∫0πxsin⁡2x dx+∫0π(π−x)sin⁡2x dx=∫0π[x+(π−x)]sin⁡2x dx\begin{aligned} &\int_0^\pi x\sin^2x\,dx +\int_0^\pi(\pi-x)\sin^2x\,dx\\ &=\int_0^\pi[x+(\pi-x)]\sin^2x\,dx \end{aligned}

积分相减

∫abf(x) dx−∫abg(x) dx=∫ab[f(x)−g(x)] dx\boxed{ \int_a^b f(x)\,dx-\int_a^b g(x)\,dx =\int_a^b[f(x)-g(x)]\,dx }

常数提出积分号

∫abCf(x) dx=C∫abf(x) dx\boxed{ \int_a^b C f(x)\,dx =C\int_a^b f(x)\,dx }

例如，∫0ππsin⁡2x dx=π∫0πsin⁡2x dx\int_0^\pi\pi\sin^2x\,dx=\pi\int_0^\pi\sin^2x\,dx。

3. 积分区间的性质

区间可拆分

∫abf(x) dx=∫acf(x) dx+∫cbf(x) dx\boxed{ \int_a^b f(x)\,dx =\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx }

例如：

∫0πf(x) dx=∫0π/2f(x) dx+∫π/2πf(x) dx\int_0^\pi f(x)\,dx =\int_0^{\pi/2}f(x)\,dx+\int_{\pi/2}^{\pi}f(x)\,dx

交换上下限

∫abf(x) dx=−∫baf(x) dx\boxed{ \int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx }

上下限相等

∫aaf(x) dx=0\boxed{\int_a^a f(x)\,dx=0}

三、两种重要的积分方法

1. 换元积分

核心思想

当积分中同时出现复合结构 g(x)g(x) 及其微分形式 g′(x) dxg'(x)\,dx 时，可以考虑令

u=g(x),du=g′(x) dx\boxed{u=g(x)},\qquad \boxed{du=g'(x)\,dx}

目的是把复杂积分转化为较简单的积分。

定积分换元的步骤

步骤： 换函数 → 换 dxdx → 换上下限 → 整理。

例如：

∫01xsin⁡2(πx) dx\int_0^1x\sin^2(\pi x)\,dx

令 u=πxu=\pi x，则

x=uπ,du=π dx,dx=1π dux=\frac{u}{\pi},\qquad du=\pi\,dx,\qquad dx=\frac{1}{\pi}\,du

上下限随之变为：

x=0⇒u=0,x=1⇒u=πx=0\Rightarrow u=0,\qquad x=1\Rightarrow u=\pi

因此

∫01xsin⁡2(πx) dx=1π2∫0πusin⁡2u du\boxed{ \int_0^1x\sin^2(\pi x)\,dx =\frac{1}{\pi^2}\int_0^\pi u\sin^2u\,du }

其中，1π2\frac{1}{\pi^2} 分别来自 x=uπx=\frac{u}{\pi} 和 dx=duπdx=\frac{du}{\pi}。

2. 分部积分

公式

∫u dv=uv−∫v du\boxed{\int u\,dv=uv-\int v\,du}

对于定积分：

∫abu dv=[uv]ab−∫abv du\boxed{ \int_a^b u\,dv=[uv]_a^b-\int_a^b v\,du }

适用情形

常见情形包括：

  • 含有 ln⁡(⋯ )\ln(\cdots)；
  • 两种不同类型的函数相乘；
  • xx 与三角函数相乘；
  • xx 与指数函数相乘。

例如，将 ∫ln⁡(1+x2) dx\int\ln(1+x^2)\,dx 看作 ∫ln⁡(1+x2)⋅1 dx\int\ln(1+x^2)\cdot1\,dx，取

u=ln⁡(1+x2),dv=dxu=\ln(1+x^2),\qquad dv=dx

则

du=2x1+x2 dx,v=xdu=\frac{2x}{1+x^2}\,dx,\qquad v=x

代入分部积分公式：

∫ln⁡(1+x2) dx=xln⁡(1+x2)−2∫x21+x2 dx\boxed{ \int\ln(1+x^2)\,dx =x\ln(1+x^2)-2\int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx }

然后继续化简右侧的积分。

四、平方三角函数的处理

遇到 sin⁡2x\sin^2x 或 cos⁡2x\cos^2x 时，通常先使用降幂公式：

sin⁡2x=1−cos⁡2x2,cos⁡2x=1+cos⁡2x2\boxed{\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}},\qquad \boxed{\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}}

例如：

∫sin⁡2x dx=12∫(1−cos⁡2x) dx\int\sin^2x\,dx =\frac{1}{2}\int(1-\cos2x)\,dx

所以

∫sin⁡2x dx=x2−sin⁡2x4+C\boxed{ \int\sin^2x\,dx =\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}+C }

两个常用结果为：

∫0πsin⁡2x dx=∫0πcos⁡2x dx=π2\boxed{ \int_0^\pi\sin^2x\,dx =\int_0^\pi\cos^2x\,dx =\frac{\pi}{2} }

五、定积分的对称性

这是之前那道题最容易卡住的部分。

1. 基本思想

对于 ∫0af(x) dx\int_0^a f(x)\,dx，可以尝试作变换 x↦a−xx\mapsto a-x，得到

∫0af(x) dx=∫0af(a−x) dx\boxed{ \int_0^a f(x)\,dx =\int_0^a f(a-x)\,dx }

这称为定积分的对称变换。

2. 例题中的应用

设

I=∫0πxsin⁡2x dxI=\int_0^\pi x\sin^2x\,dx

因为 sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi-x)=\sin x，所以 sin⁡2(π−x)=sin⁡2x\sin^2(\pi-x)=\sin^2x。作对称变换后：

I=∫0π(π−x)sin⁡2x dxI=\int_0^\pi(\pi-x)\sin^2x\,dx

与原式相加：

2I=∫0πxsin⁡2x dx+∫0π(π−x)sin⁡2x dx=∫0π[x+(π−x)]sin⁡2x dx=π∫0πsin⁡2x dx\begin{aligned} 2I &=\int_0^\pi x\sin^2x\,dx +\int_0^\pi(\pi-x)\sin^2x\,dx\\ &=\int_0^\pi[x+(\pi-x)]\sin^2x\,dx\\ &=\pi\int_0^\pi\sin^2x\,dx \end{aligned}

因此

I=π2∫0πsin⁡2x dx\boxed{ I=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi\sin^2x\,dx }

3. 含有 xx 因子的常用对称公式

若 ff 关于区间 [a,b][a,b] 的中点 x=a+b2x=\frac{a+b}{2} 对称，即

f(a+b−x)=f(x)f(a+b-x)=f(x)

则

∫abxf(x) dx=a+b2∫abf(x) dx\boxed{ \int_a^b xf(x)\,dx =\frac{a+b}{2}\int_a^b f(x)\,dx }

这是因为作对称变换 x↦a+b−xx\mapsto a+b-x 后，若记 I=∫abxf(x) dxI=\int_a^b xf(x)\,dx，则

I=∫ab(a+b−x)f(x) dxI=\int_a^b(a+b-x)f(x)\,dx

两式相加即可得到上述结论。当积分区间为 [0,a][0,a] 时，它可写成

∫0axf(x) dx=a2∫0af(x) dx\int_0^a xf(x)\,dx =\frac{a}{2}\int_0^a f(x)\,dx

前面的例题中，a=πa=\pi，f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin^2x，因此

∫0πxsin⁡2x dx=π2∫0πsin⁡2x dx\int_0^\pi x\sin^2x\,dx =\frac{\pi}{2}\int_0^\pi\sin^2x\,dx

4. 对称区间上的奇偶性

以下结论的积分区间必须关于原点对称，即形如 [−a,a][-a,a]。

偶函数

若 f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)，则左右两部分的积分相等，因此

∫−aaf(x) dx=2∫0af(x) dx\boxed{\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_0^a f(x)\,dx}

等价地，

∫−a0f(x) dx=∫0af(x) dx\int_{-a}^0f(x)\,dx=\int_0^a f(x)\,dx

奇函数

若 f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)，则左右两部分的积分大小相等、符号相反，因此

∫−aaf(x) dx=0\boxed{\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0}

等价地，

∫−a0f(x) dx=−∫0af(x) dx\int_{-a}^0f(x)\,dx=-\int_0^a f(x)\,dx

5. 关于任意对称中心的推广

上述结论可以从原点推广到任意对称中心 x=cx=c。

关于 x=cx=c 偶对称

若 f(c−x)=f(c+x)f(c-x)=f(c+x)，则

∫c−ac+af(x) dx=2∫cc+af(x) dx=2∫c−acf(x) dx\boxed{ \int_{c-a}^{c+a}f(x)\,dx =2\int_c^{c+a}f(x)\,dx =2\int_{c-a}^c f(x)\,dx }

关于 x=cx=c 奇对称

若 f(c−x)=−f(c+x)f(c-x)=-f(c+x)，则

∫c−ac+af(x) dx=0\boxed{\int_{c-a}^{c+a}f(x)\,dx=0}

6. 变上限积分的奇偶性

定义

F(x)=∫0xf(t) dtF(x)=\int_0^x f(t)\,dt

则有如下“奇偶互换”规律：

  • ff 是偶函数，FF 是奇函数；
  • ff 是奇函数，FF 是偶函数。

重点： 偶函数从 00 积到 xx 得到奇函数；奇函数从 00 积到 xx 得到偶函数。

7. 使用条件

使用上述结论时，需要满足以下条件：

  • 函数在相应区间上可积；
  • 函数的定义域具有相应的对称性；
  • 积分区间关于对应的对称中心对称。

例如，[−1,2][-1,2] 不关于原点对称，因此即使 f(x)f(x) 是奇函数或偶函数，也不能直接套用对称区间上的积分结论。

目前我还没有学到微积分部分，
但是不知道为什么题目中却有相关的内容，
只能顺便看一看了。
31号就要开学了，学习节奏又要被打乱了。
我从来没觉得上学开心过😭。
福丸小糸-药丸了