极限计算中的直接代入与等价替换

极限、函数值、连续与导数

1. 函数值只表示一个点上的取值

$f(0)=A$ 只表示 $x=0$ 时函数值为 $A$，不能因此把式子中的 $f(x)$ 直接换成 $A$：

$$f(0)=A\not\Rightarrow f(x)=A.$$

例如，$f(0)=0$ 只说明函数在 $x=0$ 处的值为 $0$，不代表 $x$ 接近 $0$ 时 $f(x)$ 恒为 $0$。

2. 能否在极限中直接代入，关键看连续性

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，则

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$$

例如，多项式函数连续，因此

$$\lim_{x\to0}3b(x+1)^2=3b.$$

但如果直接代入后出现 $0/0$，得到的只是未定式，不能作为答案。例如：

$$\lim_{x\to0}\frac{3b(x+1)^2-3b}{x}.$$

化简后有

$$\frac{3b\left[(x+1)^2-1\right]}{x} =3b(x+2)\to6b.$$

3. 使用导数定义时不能过早代入

导数定义为

$$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

它研究的是 $x$ 接近 $x_0$ 时函数的变化率。如果一开始就令 $x=x_0$，分子和分母通常都会变成 $0$，变化信息也会随之消失。

4. “有定义”不等于“连续”

某点有函数值，并不能推出函数在该点连续：

$$f(x_0)\text{ 存在} \not\Rightarrow \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$$

同理，某点的二阶导数存在，也不能推出二阶导函数在该点连续：

$$f''(0)\text{ 存在} \not\Rightarrow \lim_{x\to0}f''(x)=f''(0).$$

因此，若没有已知 $f''(x)$ 在 $x=0$ 处连续，就不能把 $\lim_{x\to0}f''(x)$ 直接写成 $f''(0)$。

重点： 能否直接代入，关键看所求函数在该点是否连续；出现 $0/0$ 时不能停止计算。

等价无穷小在加减法中的使用

设 $x\to0$。等价无穷小在乘除法中通常可以直接代换，但在加减法中要先判断主项是否相消。

1. 两项阶数不同

只保留阶数较低、量级较大的无穷小。例如：

$$x^2+\sin x.$$

因为

$$\sin x\sim x,\qquad x^2=o(x),$$

所以

$$x^2+\sin x\sim x.$$

同理，

$$x+x^2+x^3\sim x.$$

2. 两项同阶，但主项不相消

此时可以使用等价无穷小。例如：

$$2\sin x-3\tan x \sim2x-3x =-x.$$

3. 两项同阶，而且主项相消

此时不能只使用最基本的等价无穷小，需要继续展开，找到下一阶非零项。例如：

$$\sin x-x.$$

虽然 $\sin x\sim x$，但不能写成 $\sin x-x\sim x-x=0$。由泰勒展开

$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3),$$

可得

$$\sin x-x\sim-\frac{x^3}{6}.$$

4. 分母会决定高阶误差能否忽略

当分子是加减法且分母含 $x^n$ 时，需要判断

$$\frac{\text{代换时忽略的误差}}{\text{分母}}\to0$$

是否成立。若成立，误差不会影响最终极限；否则不能忽略。

由

$$\sin x-x=-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$$

可知

$$\frac{\sin x-x}{x}\to0, \qquad \frac{\sin x-x}{x^2}\to0,$$

但

$$\frac{\sin x-x}{x^3}\to-\frac16.$$

前两式中剩余主项比分母高阶，因此极限仍为 $0$；最后一式中分子主项与分母同阶，不能忽略。

判断顺序

1. 不同阶： 保留最低阶无穷小。
2. 同阶但不相消： 可以直接等价代换。
3. 同阶且相消： 继续展开，找到下一阶非零项。
4. 外面还有分母： 判断被忽略的误差除以分母是否趋于 $0$。

重点： 等价代换后，若丢掉的部分不会影响最终极限，就可以代换；否则不可以。