微积分基本定理

微积分基本定理把导数与积分正式联系起来：导数研究瞬时变化，积分研究累计变化，而二者在一定条件下互为逆运算。

两个核心结论

变上限定积分求导公式

设

$$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt.$$

如果 $f$ 连续，那么

$$\boxed{F'(x)=\left(\int_a^x f(t)\,dt\right)'=f(x)}.$$

也就是说，对一个函数先累计积分，再求导，会回到原来的函数。

直观理解

$F(x)$ 表示从 $a$ 到 $x$ 的累计面积。当 $x$ 增加一个很小的量 $\Delta x$ 时，新增加的面积近似为

$$\Delta F\approx f(x)\Delta x.$$

因此

$$\frac{\Delta F}{\Delta x}\approx f(x),$$

取极限便得到 $F'(x)=f(x)$。

重点： 累计面积的变化率，就是当前函数的高度。

例子

设

$$F(x)=\int_0^x t^2\,dt=\frac{x^3}{3},$$

则

$$F'(x)=x^2,$$

所以

$$\boxed{\left(\int_0^x t^2\,dt\right)'=x^2}.$$

牛顿—莱布尼茨公式

如果 $F'(x)=f(x)$，即 $F$ 是 $f$ 的一个原函数，那么

$$\boxed{\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)}.$$

它给出了定积分的计算方法：

找原函数，再用上限处的函数值减去下限处的函数值。

例如，因为 $F(x)=x^2$ 是 $f(x)=2x$ 的一个原函数，所以

$$\int_1^3 2x\,dx=[x^2]_1^3=9-1=8.$$

两条定理的关系

两条定理是一件事的两个方向。设

$$A(x)=\int_a^x f(t)\,dt.$$

第一条定理告诉我们 $A'(x)=f(x)$，所以 $A(x)$ 本身就是 $f(x)$ 的一个原函数。又因为

$$A(a)=\int_a^a f(t)\,dt=0, \qquad A(b)=\int_a^b f(t)\,dt,$$

所以

$$\int_a^b f(t)\,dt=A(b)-A(a).$$

这就自然导出了牛顿—莱布尼茨公式。整个逻辑可以概括为：

1. 变上限积分可以产生原函数；
2. 知道原函数，就能计算定积分。

也就是说，若 $F'=f$，则有

$$f(x)\overset{\text{积分}}{\longrightarrow}F(x), \qquad F(x)\overset{\text{求导}}{\longrightarrow}f(x).$$

例如

$$x^2\overset{\int}{\longrightarrow}\frac{x^3}{3}+C, \qquad \frac{x^3}{3}\overset{d/dx}{\longrightarrow}x^2.$$

变上限积分求导的推广

上限是复合函数

若

$$F(x)=\int_a^{g(x)}f(t)\,dt,$$

则结合链式法则可得

$$\boxed{F'(x)=f(g(x))g'(x)}.$$

例如

$$F(x)=\int_0^{x^2}\sin t\,dt,$$

那么

$$\boxed{F'(x)=2x\sin(x^2)}.$$

上下限都变化

若

$$F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,dt,$$

则

$$\boxed{F'(x)=f(v(x))v'(x)-f(u(x))u'(x)}.$$

例如

$$F(x)=\int_x^{x^2}e^t\,dt,$$

那么

$$F'(x)=2xe^{x^2}-e^x.$$

这两类公式本质上都是微积分基本定理与链式法则的结合。

公式速记

$$\boxed{\left(\int_a^x f(t)\,dt\right)'=f(x)}$$ $$\boxed{\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a),\qquad F'=f}$$ $$\boxed{ \left(\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,dt\right)' =f(v(x))v'(x)-f(u(x))u'(x) }$$

前两条是微积分基本定理的核心，第三条是最常用的推广。

核心理解： 导数研究“瞬时变化”，积分研究“累计变化”，微积分基本定理说明二者本质上互逆。