进位计数制及其相互转换

进位计数制与位权

在 $R$ 进制中：

• 基数为 $R$，每一位可使用 $0\sim R-1$；
• 计数规则是“逢 $R$ 进 1”；
• 同一个数字处于不同位置时，表示的实际大小不同。

例如，十进制数 $357$ 可以写成：

$$357=3\times 10^2+5\times 10^1+7\times 10^0$$

其中 $10^2、10^1、10^0$ 就是各位的位权。

对于一般的 $R$ 进制数：

$$(a_na_{n-1}\cdots a_1a_0.a_{-1}a_{-2}\cdots)_R$$

其数值为：

$$a_nR^n+a_{n-1}R^{n-1}+\cdots+a_0R^0+a_{-1}R^{-1}+a_{-2}R^{-2}+\cdots$$

重点： 小数点左边的指数从 $0$ 开始向左递增；小数点右边的指数从 $-1$ 开始向右递减。

常见进制

进制	英文名称	常见缩写	基数	可用数字	示例
二进制	binary	bin	2	0、1	$(101101)_2$
八进制	octal	oct	8	0～7	$(735)_8$
十进制	decimal	dec	10	0～9	$(357)_{10}$
十六进制	hexadecimal	hex	16	0～9、A～F	$(2AF)_{16}$

bin、oct、dec、hex 常用作进制名称的简写；具体编程语言中的数字前缀写法可能不同。

十六进制中：

$$A=10,\quad B=11,\quad C=12,\quad D=13,\quad E=14,\quad F=15$$

下标用于标明数的进制。例如，$(1011)_2=11_{10}$，但 $(1011)_{10}$ 仍表示十进制的一千零十一。

任意进制转换为十进制

方法是：按权展开，相加。

整数转换

例如，将 $(2AF)_{16}$ 转换成十进制：

$$\begin{aligned} (2AF)_{16} &=2\times16^2+10\times16^1+15\times16^0\\ &=512+160+15\\ &=687_{10} \end{aligned}$$

小数转换

例如，将 $(101.101)_2$ 转换成十进制：

$$\begin{aligned} (101.101)_2 &=1\times2^2+0\times2^1+1\times2^0\\ &\quad+1\times2^{-1}+0\times2^{-2}+1\times2^{-3}\\ &=4+1+\frac12+\frac18\\ &=5.625_{10} \end{aligned}$$

十进制转换为其他进制

整数部分和小数部分要分别处理：

部分	方法	数位排列顺序
整数部分	除基取余	余数逆序排列
小数部分	乘基取整	整数部分顺序排列

整数部分：除基取余，逆序排列

例如，将 $45_{10}$ 转换成二进制：

$$\begin{array}{rcl} 45\div2&=&22\quad\text{余 }1\\ 22\div2&=&11\quad\text{余 }0\\ 11\div2&=&5\quad\text{余 }1\\ 5\div2&=&2\quad\text{余 }1\\ 2\div2&=&1\quad\text{余 }0\\ 1\div2&=&0\quad\text{余 }1 \end{array}$$

从下往上读取余数，可得：

$$\boxed{45_{10}=(101101)_2}$$

之所以要逆序，是因为第一次得到的余数对应最低位 $2^0$，之后才依次对应更高位。

转换为十六进制时，若余数大于 9，要改写为对应字母。例如：

$$\begin{array}{rcl} 687\div16&=&42\quad\text{余 }15=F\\ 42\div16&=&2\quad\text{余 }10=A\\ 2\div16&=&0\quad\text{余 }2 \end{array}$$

因此：

$$\boxed{687_{10}=(2AF)_{16}}$$

小数部分：乘基取整，顺序排列

例如，将 $0.625_{10}$ 转换成二进制：

$$\begin{array}{rcl} 0.625\times2&=&1.25\quad\text{取 }1\\ 0.25\times2&=&0.5\quad\text{取 }0\\ 0.5\times2&=&1.0\quad\text{取 }1 \end{array}$$

按出现顺序读取整数部分，可得：

$$\boxed{0.625_{10}=(0.101)_2}$$

若小数部分不能在有限次运算后变为 $0$，就根据题目要求保留指定位数，并进行截断或舍入。

整数与小数混合

分别转换后再拼接。例如：

$$13_{10}=(1101)_2,\qquad 0.625_{10}=(0.101)_2$$

所以：

$$\boxed{13.625_{10}=(1101.101)_2}$$

二、八、十六进制之间的快速转换

因为 $8=2^3$、$16=2^4$，所以：

$$\boxed{1\text{ 位八进制}=3\text{ 位二进制}}$$ $$\boxed{1\text{ 位十六进制}=4\text{ 位二进制}}$$

二进制与八进制

八进制	二进制	八进制	二进制
0	000	4	100
1	001	5	101
2	010	6	110
3	011	7	111

八进制转二进制时，将每一位改写为 3 位二进制：

$$(572)_8=(101\ 111\ 010)_2=(101111010)_2$$

二进制转八进制时，从小数点开始向两侧每 3 位分为一组。例如：

$$(11011)_2=(011\ 011)_2=(33)_8$$

二进制与十六进制

十六进制	二进制	十六进制	二进制
0	0000	8	1000
1	0001	9	1001
2	0010	A	1010
3	0011	B	1011
4	0100	C	1100
5	0101	D	1101
6	0110	E	1110
7	0111	F	1111

十六进制转二进制时，将每一位改写为 4 位二进制：

$$(3AF)_{16}=(0011\ 1010\ 1111)_2=(1110101111)_2$$

二进制转十六进制时，每 4 位分为一组：

$$(1101011011)_2=(0011\ 0101\ 1011)_2=(35B)_{16}$$

含小数点时的分组规则

以小数点为中心，分别向左、向右分组：

• 整数部分最左侧不足一组时，在左边补 0；
• 小数部分最右侧不足一组时，在右边补 0。

例如，将 $(101101.1011)_2$ 转换成八进制：

$$(101\ 101.101\ 100)_2=(55.54)_8$$

补零不会改变数值，例如 $(011)_2=(11)_2$，$(0.1)_2=(0.100)_2$。

八进制与十六进制

通常以二进制为桥梁：

$$\boxed{\text{八进制}\longleftrightarrow\text{二进制}\longleftrightarrow\text{十六进制}}$$

例如：

$$\begin{aligned} (735)_8 &=(111\ 011\ 101)_2\\ &=(0001\ 1101\ 1101)_2\\ &=(1DD)_{16} \end{aligned}$$

转换方法总结

转换类型	方法
任意进制 → 十进制	按权展开求和
十进制整数 → $R$ 进制	除 $R$ 取余，逆序排列
十进制小数 → $R$ 进制	乘 $R$ 取整，顺序排列
二进制 ↔ 八进制	3 位一组
二进制 ↔ 十六进制	4 位一组
八进制 ↔ 十六进制	借助二进制转换

易错点： 注意整数与小数的读取顺序相反；分组时，整数部分在左侧补 0，小数部分在右侧补 0；十六进制中大于 9 的数码要写成 A～F。