函数的单调性与极值

函数的单调性

定义与导数判别

设函数 $f(x)$ 在区间 $D$ 上有定义。对任意 $x_1,x_2\in D$，若 $x_1<x_2$ 时总有 $f(x_1)<f(x_2)$，则称 $f$ 在 $D$ 上单调增加；若总有 $f(x_1)>f(x_2)$，则称 $f$ 在 $D$ 上单调减少。

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 内可导，则：

• 对所有 $x\in(a,b)$，若 $f'(x)>0$，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上单调增加；
• 对所有 $x\in(a,b)$，若 $f'(x)<0$，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上单调减少。

求单调区间

1. 求 $f'(x)$，找出定义域内 $f'(x)=0$ 或 $f'(x)$ 不存在的点。
2. 用这些点划分定义域，判断各区间内 $f'(x)$ 的符号。
3. 根据符号写出单调增加区间和单调减少区间。

例如，$f'(x)$ 在 $a$ 左侧为负、右侧为正，则函数先减后增。

函数的极值

极值与驻点

设 $x_0$ 是定义域内点。若在 $x_0$ 附近总有 $f(x)\ge f(x_0)$，则 $x_0$ 是极小值点，$f(x_0)$ 是极小值；若总有 $f(x)\le f(x_0)$，则分别是极大值点和极大值。

注意：极值点指 $x_0$，极值指 $f(x_0)$。

满足 $f'(x_0)=0$ 的点叫驻点。驻点以及导数不存在的点都值得检查，但它们不一定是极值点。

第一充分条件：看一阶导数是否变号

设 $f$ 在 $a$ 处连续，并在 $a$ 的去心邻域内可导。考察 $f'(x)$ 在 $a$ 左右的符号：

记忆：$-\to+$ 对应极小，$+\to-$ 对应极大。

第二充分条件：看二阶导数

若 $f'(a)=0$，且 $f''(a)$ 存在，则：

• $f''(a)>0$：$a$ 是极小值点；
• $f''(a)<0$：$a$ 是极大值点；
• $f''(a)=0$：此法不能判断，可改看 $f'(x)$ 在 $a$ 左右是否变号。

重点：使用二阶导数判别法前，必须先确认 $f'(a)=0$。若一阶导数的符号容易判断，可直接使用第一充分条件。

极值与最值

区别

极值只与点附近的函数值比较；最值要与整个区间内的函数值比较。因此，极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值。

闭区间上的最大值与最小值

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则一定能在该区间取得最大值和最小值。求法：

1. 找出 $(a,b)$ 内所有驻点和不可导点，记为 $x_1,\ldots,x_n$。
2. 计算 $f(a),f(x_1),\ldots,f(x_n),f(b)$。
3. 比较这些值，其中最小者为最小值，最大者为最大值。

计算口诀：端点、驻点、不可导点，全部代入比较。

唯一极值点的结论

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，且在 $(a,b)$ 内只有一个极值点，则：它若是极小值点，也是在 $[a,b]$ 上的最小值点；它若是极大值点，也是在 $[a,b]$ 上的最大值点。