曲线的凹凸性、渐近线、弧微分与曲率

曲线的凹凸性与拐点

设函数 $f(x)$ 在区间 $D$ 上连续，任取不同的 $x_1,x_2\in D$ 。按本教材的约定：

若 $\displaystyle f\!\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ ，则曲线在 $D$ 上是凹曲线（开口向上）。
若 $\displaystyle f\!\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ ，则曲线在 $D$ 上是凸曲线（开口向下）。

二阶导数判别法：若 $f\in C[a,b]$ ，且在 $(a,b)$ 内二阶可导，则

条件	曲线形状
$f''(x)>0$	在 $[a,b]$ 上凹
$f''(x)<0$	在 $[a,b]$ 上凸

曲线在点 $(a,f(a))$ 两侧的凹凸性不同时，该点称为拐点。判断时先找 $f''(x)=0$ 或 $f''(x)$ 不存在的候选点，再检查两侧的凹凸性；若 $f$ 在 $a$ 处连续，且 $f''$ 在两侧变号，就能确定该点是拐点。

教材给出的一个充分条件：若 $f$ 在 $x=a$ 处三阶可导， $f'(a)=f''(a)=0$ ，且 $f'''(a)\ne0$ ，则 $(a,f(a))$ 是拐点。例如 $y=x^3$ 在原点处有拐点。

注意： $f''(a)=0$ 本身不保证是拐点，如 $y=x^4$ 在原点两侧始终为凹曲线。

当 $x$ 趋于无穷远或某个边界点时，若曲线与某条直线的距离趋于零，这条直线称为曲线的渐近线。

类型	判别条件	渐近线
水平渐近线	$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=A$ 或 $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=A$	$y=A$
铅直渐近线	$\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty$ 或 $\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty$	$x=a$
斜渐近线	在 $x\to+\infty$ 或 $x\to-\infty$ 时， $\displaystyle a=\lim\frac{f(x)}{x}\ne0$ ， $\displaystyle b=\lim[f(x)-ax]$ 均为有限实数	$y=ax+b$

求渐近线时， $x\to+\infty$ 和 $x\to-\infty$ 应分别检查，所得直线可以不同。铅直渐近线常出现在函数的间断点附近，但间断点不一定有铅直渐近线。

由微小弧段近似直角三角形的斜边，可得 $ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$ 。沿自变量或参数增大的方向，常用形式如下：

曲线表示方式	弧微分
直角坐标 $y=f(x)$	$\displaystyle ds=\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$
参数方程 $x=\varphi(t),\ y=\psi(t)$	$\displaystyle ds=\sqrt{[\varphi'(t)]^2+[\psi'(t)]^2}\,dt$
极坐标 $r=r(\theta)$	$\displaystyle ds=\sqrt{r^2(\theta)+[r'(\theta)]^2}\,d\theta$

对 $y=f(x)$ ，若相关导数存在，曲率及曲率半径为

K=\frac{|f''(x)|}{\bigl(1+[f'(x)]^2\bigr)^{3/2}}, \qquad R=\frac{1}{K}\quad(K>0).

$K$ 越大，曲线在该点附近弯曲得越明显； $K=0$ 时曲率半径可理解为无穷大。