三角函数与反三角函数整理

1. 正弦函数与反正弦函数

正弦函数 $y=\sin x$

项目	内容
定义域	$x\in\mathbb R$
值域	$y\in[-1,1]$
最小正周期	$2\pi$
对称轴	$x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$

反正弦函数 $y=\arcsin x$

项目	内容
定义域	$x\in[-1,1]$
值域	$y\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$

常用特殊值

$x$	$\arcsin x$
$0$	$0$
$\dfrac12$	$\dfrac{\pi}{6}$
$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\pi}{4}$
$1$	$\dfrac{\pi}{2}$

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2. 余弦函数与反余弦函数

余弦函数 $y=\cos x$

项目	内容
定义域	$x\in\mathbb R$
值域	$y\in[-1,1]$
最小正周期	$2\pi$
对称轴	$x=k\pi$

反余弦函数 $y=\arccos x$

项目	内容
定义域	$x\in[-1,1]$
值域	$y\in[0,\pi]$

常用特殊值

$x$	$\arccos x$
$0$	$\dfrac{\pi}{2}$
$\dfrac12$	$\dfrac{\pi}{3}$
$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\pi}{4}$
$1$	$0$

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3. 正切函数与余切函数

正切函数 $y=\tan x$

项目	内容
定义域	$x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi$
单个连续区间	$\left(-\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right)$
值域	$y\in\mathbb R$
最小正周期	$\pi$
垂直渐近线	$x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$

当 $x$ 趨近垂直渐近线时：

$$|\tan x|\to\infty$$

余切函数 $y=\cot x$

$$\cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{\cos x}{\sin x}$$

项目	内容
定义域	$x\ne k\pi$
单个连续区间	$(k\pi,(k+1)\pi)$
值域	$y\in\mathbb R$
最小正周期	$\pi$
垂直渐近线	$x=k\pi$

当 $x\to k\pi$ 时：

$$|\cot x|\to\infty$$

---

4. 反正切函数与反余切函数

反正切函数 $y=\arctan x$

项目	内容
定义域	$x\in\mathbb R$
值域	$y\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$

反余切函数 $y=\operatorname{arccot}x$

通常规定：

项目	内容
定义域	$x\in\mathbb R$
值域	$y\in(0,\pi)$

反正切函数常用特殊值

$x$	$\arctan x$
$0$	$0$
$1$	$\dfrac{\pi}{4}$
$\sqrt3$	$\dfrac{\pi}{3}$

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5. 余割函数

余割函数 $y=\csc x$

$$\csc x=\frac{1}{\sin x}$$

项目	内容
定义域	$x\ne k\pi$
值域	$(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$
最小正周期	$2\pi$
垂直渐近线	$x=k\pi$

当 $x\to k\pi$ 时：

$$|\csc x|\to\infty$$

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6. 正割函数

正割函数 $y=\sec x$

$$\sec x=\frac{1}{\cos x}$$

项目	内容
定义域	$x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi$
值域	$(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$
最小正周期	$2\pi$
垂直渐近线	$x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$

当 $x\to\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ 时：

$$|\sec x|\to\infty$$

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真是头疼，明明我还在做不定性极限的题目，怎么又跑来看三角函数了？
感觉老年痴呆越来越严重了，明天来杯可乐拯救下所剩无几的脑细胞。