不定型极限与定积分极限计算

一、不定型极限的计算

常见不定型：

$$\frac00,\qquad \frac{\infty}{\infty},\qquad 1^\infty,\qquad \infty-\infty,\qquad \infty\cdot0,\qquad 0^0,\qquad \infty^0$$

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1. $\frac00$ 型极限

1.1 常用方法

遇到 $\frac00$ 型，一般考虑：

1. 等价无穷小替换
2. 洛必达法则
3. 泰勒展开麦克劳林公式

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1.2 出现幂函数 $u(x)^{v(x)}$

通常先改写成指数形式：

$$u(x)^{v(x)} = e^{v(x)\ln u(x)}$$

于是问题转化为计算

$$\lim v(x)\ln u(x)$$

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1.3 出现 $\ln \varphi(x)$，且 $\varphi(x)\to1$

先写成

$$\ln\varphi(x) = \ln\left[1+\bigl(\varphi(x)-1\bigr)\right]$$

利用

$$\ln(1+t)\sim t\qquad(t\to0)$$

得到

$$\boxed{\ln\varphi(x)\sim \varphi(x)-1}$$

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1.4 需要处理 $\varphi(x)-1$

根据 $\varphi(x)$ 的形式，常用：

$$e^\Delta-1\sim\Delta \qquad(\Delta\to0)$$

以及

$$(1+\Delta)^a-1\sim a\Delta \qquad(\Delta\to0)$$

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1.5 注意无穷小的阶数

当 $x\to0$ 时：

$$x,\quad \sin x,\quad \tan x,\quad \arcsin x,\quad \arctan x$$

它们彼此都是等价无穷小：

$$x\sim\sin x\sim\tan x\sim\arcsin x\sim\arctan x$$

但需要特别注意：

上述函数中任意两个函数之差是 三阶无穷小。

因此在出现“两个等价无穷小相减”时，不能简单地都替换成 $x$，否则会把主要项消掉。

另外需要记住：

$$\boxed{x-\ln(1+x)\sim \frac12x^2} \qquad(x\to0)$$

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2. $1^\infty$ 型极限

基本思路

第一步：凑成

$$(1+\Delta)^{1/\Delta}$$

其中

$$\Delta\to0$$

利用基本极限：

$$\boxed{\lim_{\Delta\to0}(1+\Delta)^{1/\Delta}=e}$$

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3. $\frac{\infty}{\infty}$ 型极限

3.1 比较无穷大的阶

当 $x\to+\infty$ 时，若

$$a>0,\qquad b>0,\qquad c>1$$

则增长速度由低到高为

$$\boxed{ \ln^a x \ll x^b \ll c^x }$$

即：

对数函数 < 幂函数 < 指数函数

因此

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln^a x}{x^b}=0$$ $$\lim_{x\to+\infty}\frac{x^b}{c^x}=0$$

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3.2 多项式之比

设

$$\frac{a_mx^m+\cdots+a_0} {b_nx^n+\cdots+b_0}$$

比较最高次数即可。

当 $m<n$

$$\boxed{\lim=0}$$

当 $m=n$

$$\boxed{ \lim=\frac{a_m}{b_n} }$$

当 $m>n$

极限发散到无穷，具体正负由最高次项决定。

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3.3 洛必达法则

如果满足洛必达法则的使用条件，可对分子、分母同时求导：

$$\lim\frac{f(x)}{g(x)} = \lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

必要时可以连续使用。

同时满足以下三个核心条件：

• 未定式条件：当 $x \to a$时，分子与分母的极限必须构成了 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式。
• 可导性条件：在点 $a$ 的某去心邻域内，$f(x)$ 和 $g(x)$ 必须都可导，且分母的导数 $g'(x) \neq 0$。
• 导数极限存在性条件：求导后的极限 $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 必须存在或为 $\infty$。

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3.4 分子、分母同时除以同一个式子

尤其适用于含高次幂的式子。

一般选择：

• 最高次幂；
• 增长最快的项；
• 能够使表达式明显简化的项。

核心思想是把“无穷大”转化成常数或无穷小。

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3.5 夹逼准则

如果能找到

$$g(x)\le f(x)\le h(x)$$

并且

$$\lim g(x)=\lim h(x)=A$$

那么

$$\boxed{\lim f(x)=A}$$

适合处理：

• 阶乘；
• 数列；
• 不方便直接使用洛必达的表达式。

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4. $\infty-\infty$ 型极限

核心思想：

不能直接判断两个无穷大的差，要先合并成一个整体。

情况一：含有分母

一般进行 通分

把 $\infty-\infty$ 转化成

$$\frac00 \quad\text{或}\quad \frac{\infty}{\infty}$$

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情况二：没有分母，但含根式

一般对根式进行 有理化。

典型形式：

$$\sqrt{A}-\sqrt{B}$$

乘以共轭式：

$$\sqrt A+\sqrt B$$

得到

$$\sqrt A-\sqrt B = \frac{A-B}{\sqrt A+\sqrt B}$$

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情况三：既没有分母，也没有根式

一般考虑：

$$\boxed{\text{提取公因式或最高阶项}}$$

把主要增长部分提出来，再判断剩余部分。

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5. $\infty\cdot0$ 型极限

5.1 化乘积为商

将其中一项移到分母

转化成

$$\frac00 \quad\text{或}\quad \frac{\infty}{\infty}$$

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5.2 出现 $f(b)-f(a)$ 时

如果极限中出现函数值之差

$$f(b)-f(a)$$

可以考虑 拉格朗日中值定理：

$$f(b)-f(a) = f'(\xi)(b-a)$$

其中

$$\xi\in(a,b)$$

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6. $0^0$ 型与 $\infty^0$ 型极限

把极限表达式转换：

$$\boxed{ \varphi(x)^{\psi(x)} \longrightarrow e^{\,\lim\psi(x)\ln\varphi(x)} }$$

统一记忆

实际上三个幂指型不定式

$$1^\infty,\qquad0^0,\qquad\infty^0$$

都可以统一用：

$$\boxed{ u(x)^{v(x)} = e^{v(x)\ln u(x)} }$$

处理。

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二、用定积分定义计算数列极限

当极限中出现：

• $n$ 项和；
• $kn$ 项和；
• 每一项都可以写成 $\frac1n f\left(\frac{i}{n}\right)$ 的形式；

要考虑把它识别成 黎曼和。

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1. 基本公式

$$\boxed{ \lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{i=1}^{kn} f\left(\frac{i}{n}\right) = \int_0^k f(x)\,dx }$$

同理，

$$\boxed{ \lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{i=1}^{kn} f\left(\frac{i-1}{n}\right) = \int_0^k f(x)\,dx }$$

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2. 识别方法

看到求和式

$$\sum_{i=1}^{kn}(\cdots)$$

时，想办法凑出：

$$\boxed{ \frac1n \sum_{i=1}^{kn} f\left(\frac{i}{n}\right) }$$

对应定积分中的：

$$\Delta x=\frac1n$$ $$x_i=\frac{i}{n}$$

积分区间为：

$$[0,k]$$

因此：

$$\frac1n \sum_{i=1}^{kn} f\left(\frac{i}{n}\right) \longrightarrow \int_0^k f(x)\,dx$$

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书本上的例题我直接做了，就不摘录上来了。
以后要是做题目遇到了相应题型再放上来吧。
累死了今天，继续看看可爱的贵贵😊