函数的连续性与间断点

函数的连续性与间断点

连续性

函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处连续，当且仅当

$$\boxed{\lim_{x\to a}f(x)=f(a)}$$

用左、右极限表示，即

$$\boxed{f(a-0)=f(a+0)=f(a)}$$

$f(x)\in C[a,b]$ 表示 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内连续，并且在两个端点处分别右连续、左连续：

$$f(a+0)=f(a),\qquad f(b-0)=f(b)$$

判断分段函数或含参数函数在分界点处的连续性，直接使用

$$\boxed{\text{左极限}=\text{右极限}=\text{函数值}}$$

闭区间上连续函数的常用定理

以下均设 $f(x)\in C[a,b]$。

1. 最大值、最小值定理

$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一定能取得最大值和最小值，即存在 $x_1,x_2\in[a,b]$，使

$$\boxed{f(x_1)=M,\qquad f(x_2)=m}$$

其中 $M,m$ 分别为最大值、最小值。

2. 有界性定理

闭区间上的连续函数必有界，即存在常数 $M_0>0$，使得

$$\boxed{|f(x)|\le M_0,\qquad x\in[a,b]}$$

3. 零点定理

若 $f(a)f(b)<0$，则至少存在一点 $c\in(a,b)$，使得

$$\boxed{f(c)=0}$$

也就是说，方程 $f(x)=0$ 在 $(a,b)$ 内至少有一个实根。

只能保证“至少一个”，不能保证唯一。

4. 介值定理

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值、最大值分别为 $m,M$。对任意 $\eta\in[m,M]$，至少存在一点 $\xi\in[a,b]$，使得

$$\boxed{f(\xi)=\eta}$$

也就是说，连续的函数会取遍最小值与最大值之间的所有值。

另一种常用表述：若 $f(a)\ne f(b)$，则对于介于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的任意 $\eta$，至少存在一点 $\xi\in(a,b)$，使 $f(\xi)=\eta$。

间断点

判断方法

若函数在 $x=a$ 处不满足

$$\boxed{f(a-0)=f(a+0)=f(a)}$$

则称 $x=a$ 为函数的间断点。

常见候选点：

• 分段函数的分界点；
• 分母为 $0$ 的点；
• 函数定义式发生变化或无定义的点。

含参数题若问“参数取何值时出现间断点”，通常先求连续时的参数条件，再取其反面。

间断点分类

第一类间断点

若 $f(a-0)$ 与 $f(a+0)$ 都存在，则 $x=a$ 为第一类间断点。

• 可去间断点： $f(a-0)=f(a+0)$，但该共同极限不等于 $f(a)$，或 $f(a)$ 无定义。

• 跳跃间断点： $f(a-0)\ne f(a+0)$。

第二类间断点

若 $f(a-0)$ 与 $f(a+0)$ 中至少有一个不存在，则 $x=a$ 为第二类间断点。

常见：

• 无穷间断：单侧极限为 $\pm\infty$；
• 振荡间断：极限因振荡而不存在。

一般来说直接写第二类间断点就好了，不用管这么多。

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概念似乎也不是很重要，反正光看也不会做题。
例题已经写完了，忘记了方法就回来看看吧。
反正第一轮复习过几天就忘了。