1. 默写数列极限的 ε−N\varepsilon-N 定义，ε\varepsilon、NN 的含义是什么？

若对任意 ε>0\varepsilon>0，总存在正整数 NN，使得当 n>Nn>N 时，都有

∣xn−a∣<ε,|x_n-a|<\varepsilon,

则称数列 {xn}\{x_n\} 收敛于 aa，记作

lim⁡n→∞xn=a.\lim_{n\to\infty}x_n=a.

其中，ε\varepsilon 是任意给定的正数，表示允许的误差；NN 是与 ε\varepsilon 有关的正整数，表示从第几项以后，数列各项都落在 aa 的 ε\varepsilon 邻域内。

2. 默写函数极限的 ε−δ\varepsilon-\delta 定义和 ε−X\varepsilon-X 定义

ε−δ\varepsilon-\delta 定义： 若对任意 ε>0\varepsilon>0，总存在 δ>0\delta>0，使得当 0<∣x−x0∣<δ0<|x-x_0|<\delta 时，都有

∣f(x)−A∣<ε,|f(x)-A|<\varepsilon,

则称

lim⁡x→x0f(x)=A.\lim_{x\to x_0}f(x)=A.

ε−X\varepsilon-X 定义： 若对任意 ε>0\varepsilon>0，总存在 X>0X>0，使得当 ∣x∣>X|x|>X 时，都有

∣f(x)−A∣<ε,|f(x)-A|<\varepsilon,

则称

lim⁡x→∞f(x)=A.\lim_{x\to\infty}f(x)=A.

当 x→+∞x\to+\infty 时，条件改为 x>Xx>X；当 x→−∞x\to-\infty 时，条件改为 x<−Xx<-X。

3. 哪些类型的函数需要分左、右极限去讨论？

当函数在 x0x_0 左、右两侧的表达式或变化规律不同时，需要分别计算左、右极限，常见于：

  • 分段函数的分界点；
  • 含绝对值、符号函数等需要分左右化简的点；
  • 函数定义域的边界点，此时通常只能讨论单侧极限。

二侧极限存在的充要条件是

lim⁡x→x0−f(x)=lim⁡x→x0+f(x).\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x).

4. 极限的基本性质有哪些？

  • 唯一性： 极限若存在，则必唯一。
  • 局部有界性： 若函数存在有限极限，则它在相应过程的某个邻域内有界。
  • 局部保号性： 若 lim⁡f(x)=A>0\lim f(x)=A>0（或 A<0A<0），则在相应过程的某个邻域内，f(x)>0f(x)>0（或 f(x)<0f(x)<0）。
  • 保不等式性： 若在相应过程的某个邻域内 f(x)≤g(x)f(x)\le g(x)，且二者极限都存在，则 lim⁡f(x)≤lim⁡g(x)\lim f(x)\le\lim g(x)。
  • 海涅定理： 基础阶段跳过了，所以我没学呢。

5. 极限四则运算的前提是什么？

参加运算的各函数极限必须存在；进行除法运算时，分母的极限还必须不为 00。

若 lim⁡f(x)=A\lim f(x)=A、lim⁡g(x)=B\lim g(x)=B，则

lim⁡[f(x)±g(x)]=A±B,lim⁡[f(x)g(x)]=AB,lim⁡f(x)g(x)=AB(B≠0).\begin{aligned} \lim[f(x)\pm g(x)]&=A\pm B,\\ \lim[f(x)g(x)]&=AB,\\ \lim\frac{f(x)}{g(x)}&=\frac AB\qquad(B\ne0). \end{aligned}

6. 无穷小和 00 是什么关系？等价无穷小和同阶无穷小是什么关系？

以 00 为极限的变量称为无穷小。无穷小不一定恒等于 00，但常数 00 是无穷小。

设 α,β\alpha,\beta 是同一过程中的无穷小，且 β≠0\beta\ne0：

  • 若 lim⁡αβ=1\displaystyle\lim\frac{\alpha}{\beta}=1，则称 α\alpha 与 β\beta 是等价无穷小，记作 α∼β\alpha\sim\beta；
  • 若 lim⁡αβ=c≠0\displaystyle\lim\frac{\alpha}{\beta}=c\ne0，其中 cc 为有限常数，则称 α\alpha 与 β\beta 是同阶无穷小。

等价无穷小是同阶无穷小在 c=1c=1 时的特殊情况，因此等价一定同阶，同阶不一定等价。

7. 证明数列极限存在依据什么定理？

通常依据单调有界定理：

  • 单调递增且有上界的数列必有极限；
  • 单调递减且有下界的数列必有极限。

概括为

单调有界数列必收敛\boxed{\text{单调有界数列必收敛}}

8. 用文字语言和符号语言分别表述连续和间断的定义

连续： 若函数 f(x)f(x) 在 x0x_0 处有定义，且当 x→x0x\to x_0 时 f(x)f(x) 的极限等于函数值 f(x0)f(x_0)，则称 f(x)f(x) 在 x0x_0 处连续。符号表示为

lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\boxed{\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)}

等价地，

f(x0−0)=f(x0+0)=f(x0).\boxed{f(x_0-0)=f(x_0+0)=f(x_0)}.

间断： 若函数在 x0x_0 处不连续，则称 x0x_0 为函数的间断点。出现下列任一情况即为间断：

  • f(x0)f(x_0) 无定义；
  • lim⁡x→x0f(x)\lim\limits_{x\to x_0}f(x) 不存在；
  • lim⁡x→x0f(x)\lim\limits_{x\to x_0}f(x) 存在，但不等于 f(x0)f(x_0)。

9. 间断点的类型有哪些？怎么判断？

先分别计算

f(x0−0),f(x0+0).f(x_0-0),\qquad f(x_0+0).

再按下列规则判断：

  • 可去间断点： 左、右极限都存在且相等，但共同极限不等于 f(x0)f(x_0)，或 f(x0)f(x_0) 无定义；
  • 跳跃间断点： 左、右极限都存在，但不相等；
  • 第一类间断点： 左、右极限都存在，包括可去间断点和跳跃间断点；
  • 第二类间断点： 左、右极限中至少有一个不存在，常见的有无穷间断点和振荡间断点。

其实学到这里这几个问题我忘了不少，
不过这次复习快了许多，
过段时间估计我又忘了，到时候再来复习吧。 第一章终于是结束了，这速度太慢了。
明天速速学习第二章。

依旧是可爱的贵贵😊
贵贵吃蛋糕