导数、隐函数、参数方程与微分

只整理了基本概念与结论，例题就不放上来了。

一、导数

1. 导数的定义

设函数 $y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 的邻域内有定义，函数在 $x_0$ 处的增量为

$$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0).$$

若极限

$$\boxed{ \lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} }$$

存在，则称 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导，该极限称为函数在 $x_0$ 处的导数，记作

$$f'(x_0) \qquad\text{或}\qquad \left.\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right|_{x=x_0}.$$

令 $x=x_0+\Delta x$，导数还可以写成

$$\boxed{ f'(x_0)= \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} }.$$

2. 左导数与右导数

函数在 $x_0$ 处的左导数和右导数分别为

$$f'_-(x_0)= \lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}, \qquad f'_+(x_0)= \lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

函数在 $x_0$ 处可导的充要条件是

$$\boxed{f'_-(x_0)=f'_+(x_0)}.$$

也就是说，左、右导数都存在且相等时，二侧导数才存在。分段函数在分界点处通常需要用这一条件判断。

3. 可导与连续的关系

$$\boxed{\text{可导}\Longrightarrow\text{连续}}$$

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则它在 $x_0$ 处一定连续；反之不成立，连续函数在某点处仍可能不可导。

4. 导数的意义

• 几何意义

导数 $f'(a)$ 表示曲线 $y=f(x)$ 在点 $(a,f(a))$ 处切线的斜率。

切线方程为

$$\boxed{y-f(a)=f'(a)(x-a)}.$$

当 $f'(a)\ne0$ 时，法线方程为

$$\boxed{ y-f(a)=-\frac{1}{f'(a)}(x-a) }.$$

当 $f'(a)=0$ 时，切线为水平直线 $y=f(a)$，法线为竖直直线 $x=a$。

• 变化率意义

导数是函数因变量相对于自变量的瞬时变化率。平均变化率

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

在 $\Delta x\to0$ 时的极限就是瞬时变化率 $f'(x_0)$。

5. 导函数与区间上的可导

若函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内每一点都可导，则各点的导数构成一个新函数 $f'(x)$，称为 $f(x)$ 的导函数，简称导数。

若 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导，并且端点处的单侧导数

$$f'_+(a),\qquad f'_-(b)$$

都存在，则称 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上可导。

6. 高阶导数

若导函数 $f'(x)$ 仍然可导，则它的导数称为 $f(x)$ 的二阶导数：

$$f''(x) =\lim_{h\to0}\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h} =\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}.$$

依次继续求导可以得到三阶及更高阶导数，统称为高阶导数。$n$ 阶导数记作

$$\boxed{ f^{(n)}(x)=\left[f^{(n-1)}(x)\right]' }.$$

二、隐函数与参数方程确定的函数

1. 隐函数的导数

若方程

$$F(x,y)=0$$

对定义域内每个 $x$ 都能确定唯一的 $y$，则称该方程确定了 $y$ 关于 $x$ 的隐函数。

求导时把 $y$ 看作 $x$ 的函数，对方程两边同时关于 $x$ 求导：

$$F_x(x,y)+F_y(x,y)\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=0.$$

当 $F_y(x,y)\ne0$ 时，

$$\boxed{ \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} =-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)} }.$$

其中 $F_x$、$F_y$ 分别表示 $F$ 对 $x$、$y$ 的偏导数。

2. 参数方程确定的函数的导数

设函数由参数方程

$$\begin{cases} x=\varphi(t),\\ y=\psi(t) \end{cases}$$

确定，且 $\varphi(t)$、$\psi(t)$ 可导、$\varphi'(t)\ne0$，则

$$\boxed{ \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} =\frac{\mathrm dy/\mathrm dt}{\mathrm dx/\mathrm dt} =\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} }.$$

若 $\varphi(t)$、$\psi(t)$ 二阶可导，则

$$\boxed{ \frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2} =\frac{1}{\varphi'(t)} \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \left(\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\right) =\frac{\psi''(t)\varphi'(t)-\psi'(t)\varphi''(t)} {\left[\varphi'(t)\right]^3} }.$$

求二阶导数时，不能直接把 $\mathrm dy/\mathrm dx$ 对 $t$ 求导；还要再除以 $\mathrm dx/\mathrm dt=\varphi'(t)$。

三、微分

1. 微分的概念

设函数 $y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 的邻域内有定义。若函数增量可以写成

$$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x),$$

其中 $A$ 是与 $\Delta x$ 无关的常数，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微，并称线性主部 $A\Delta x$ 为函数在 $x_0$ 处的微分。

由于 $A=f'(x_0)$，因此

$$\boxed{ \mathrm dy=f'(x_0)\Delta x }$$

通常令 $\mathrm dx=\Delta x$，写作

$$\boxed{\mathrm dy=f'(x)\,\mathrm dx}.$$

函数增量与微分的关系为

$$\boxed{ \Delta y=\mathrm dy+o(\Delta x) }.$$

微分 $\mathrm dy$ 是函数增量 $\Delta y$ 的线性主部；当 $\Delta x$ 很小时，可以用 $\mathrm dy$ 近似 $\Delta y$。

2. 可微的充分必要条件

一元函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微的充分必要条件是它在该点可导，并且微分中的系数满足

$$A=f'(x_0).$$

因此，对一元函数有

$$\boxed{\text{可微}\Longleftrightarrow\text{可导}\Longrightarrow\text{连续}}.$$

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例题已经都做过一遍了，
今天play了会极度恐慌2，浪费了些时间。
反正现在生物钟乱了，晚上也睡不着。
就晚上补回来吧。