泰勒展开、杨辉三角与二项式展开

一、泰勒展开

1. 核心思想

泰勒展开的核心是：在某一点附近，用多项式逼近较复杂的函数。多项式的系数由函数在该点的各阶导数决定。

2. 泰勒公式

若函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处具有足够阶的导数，则

$$\boxed{ f(x)= \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k +R_n(x) }$$

即

$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a) +\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_n(x).$$

常见的余项形式：

• 佩亚诺余项

$$R_n(x)=o\!\left((x-a)^n\right);$$

• 拉格朗日余项

$$R_n(x)= \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},$$

其中 $\xi$ 位于 $a$ 与 $x$ 之间。

佩亚诺余项常用于求极限；拉格朗日余项常用于估计误差。

3. 麦克劳林公式

当展开点为 $a=0$ 时，泰勒公式称为麦克劳林公式：

$$\boxed{ f(x)= \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k +o(x^n) }.$$

第 $k$ 次项的系数为

$$\frac{f^{(k)}(0)}{k!}.$$

若当 $n\to\infty$ 时余项趋于 $0$，则函数可以表示为对应的幂级数。需要注意：函数存在任意阶导数，并不必然等于其泰勒级数。

二、常用麦克劳林展开式

以下有限阶展开均默认 $x\to0$。

1. 指数函数

$$\boxed{ e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!} +\frac{x^4}{4!}+\cdots }$$

该展开对所有 $x$ 都成立。由 $a^x=e^{x\ln a}$ 可得

$$a^x =1+x\ln a+\frac{x^2(\ln a)^2}{2!} +\frac{x^3(\ln a)^3}{3!}+\cdots \qquad(a>0).$$

2. 三角函数

$$\boxed{ \sin x =\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!} -\frac{x^7}{7!}+\cdots }$$ $$\boxed{ \cos x =\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!} -\frac{x^6}{6!}+\cdots }$$ $$\tan x =x+\frac{x^3}{3} +\frac{2x^5}{15} +\frac{17x^7}{315} +o(x^7).$$

其中，$\sin x$ 只有奇次项，$\cos x$ 只有偶次项。

3. 对数函数

当 $|x|<1$ 时，

$$\boxed{ \ln(1+x) =\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} =x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3} -\frac{x^4}{4}+\cdots }$$ $$\boxed{ \ln(1-x) =-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n} =-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3} -\frac{x^4}{4}-\cdots }.$$

由换底公式可得

$$\log_a(1+x)=\frac{\ln(1+x)}{\ln a} \qquad(a>0,\ a\ne1).$$

4. 几何级数型

当 $|x|<1$ 时，

$$\boxed{ \frac{1}{1-x} =\sum_{n=0}^{\infty}x^n =1+x+x^2+x^3+\cdots }$$ $$\boxed{ \frac{1}{1+x} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n =1-x+x^2-x^3+\cdots }.$$

5. 广义二项式

当 $|x|<1$ 时，

$$\boxed{ (1+x)^\alpha =\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n }$$

其中

$$\binom{\alpha}{n} =\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.$$

展开前几项为

$$(1+x)^\alpha =1+\alpha x +\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 +\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 +o(x^3).$$

常见特例（上下符号需保持一致）：

$$\begin{aligned} \sqrt{1\pm x} ={}&1+\frac{1}{2}(\pm x) +\frac{\left(\frac12\right)\left(-\frac12\right)}{2!}(\pm x)^2 +\frac{\left(\frac12\right)\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{3!}(\pm x)^3 \\ & +\frac{\left(\frac12\right)\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{4!}(\pm x)^4 +o(x^4). \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{1\pm x}} ={}&1-\frac{1}{2}(\pm x) +\frac{\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{2!}(\pm x)^2 \\ & +\frac{\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)}{3!}(\pm x)^3 +o(x^3). \end{aligned}$$

6. 反三角函数

$$\boxed{ \arcsin x =x+\frac{x^3}{6} +\frac{3x^5}{40} +\frac{5x^7}{112} +o(x^7) }$$ $$\boxed{ \arctan x =x-\frac{x^3}{3} +\frac{x^5}{5} -\frac{x^7}{7} +o(x^7) }.$$

由 $\arccos x=\frac{\pi}{2}-\arcsin x$ 可得

$$\arccos x =\frac{\pi}{2}-x-\frac{x^3}{6} -\frac{3x^5}{40} +o(x^5).$$

7. 常用差值展开

求极限时，经常直接使用：

$$e^x-1=x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3),$$ $$\sin x-x=-\frac{x^3}{3!}+o(x^3), \qquad \tan x-x=\frac{x^3}{3}+o(x^3),$$ $$1-\cos x=\frac{x^2}{2!}-\frac{x^4}{4!}+o(x^4),$$ $$\ln(1+x)-x=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3),$$ $$(1+x)^\alpha-1 =\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 +o(x^2).$$

由最低次非零项还可以立即得到

$$\sin x\sim\tan x\sim e^x-1\sim\ln(1+x)\sim x,$$ $$1-\cos x\sim\frac{x^2}{2!}, \qquad (1+x)^\alpha-1\sim\alpha x \quad(\alpha\ne0).$$

三、泰勒展开的使用技巧

1. 应该展开到第几阶

核心原则是：

展开到运算或相减后，第一个不被抵消的非零项出现为止。

• 若分子、分母的低阶项可能抵消，应多展开一至两阶；
• 比较无穷小阶数时，只需找到各自最低次非零项；
• 求精确极限时，分子应展开到足以与分母最低阶匹配的次数。

2. 复合形式的展开

若 $u(x)\to0$，可以把基础展开式中的 $x$ 换成 $u(x)$。例如

$$e^{u(x)} =1+u(x)+\frac{u^2(x)}{2} +o\!\left(u^2(x)\right),$$ $$\ln\!\left(1+u(x)\right) =u(x)-\frac{u^2(x)}{2} +o\!\left(u^2(x)\right).$$

使用时要按 $u(x)$ 关于 $x$ 的阶数，重新判断最终保留到哪一阶。

3. 常见易错点

• $o(x^n)$ 表示比 $x^n$ 更高阶，而不是等于 $x^{n+1}$；
• 有抵消时不能过早截断；
• 广义二项式展开通常要求 $|x|<1$；
• 将 $x$ 换成 $u(x)$ 时，必须满足 $u(x)\to0$；
• 泰勒多项式是有限阶近似，泰勒级数等于原函数还需要余项趋于 $0$。

四、杨辉三角与二项式展开

1. 杨辉三角

杨辉三角每行两端都是 $1$，中间的数等于上一行相邻两数之和：

n=0             1
n=1           1   1
n=2         1   2   1
n=3       1   3   3   1
n=4     1   4   6   4   1
n=5   1   5  10  10   5   1

第 $n$ 行的数字依次为

$$\binom n0,\binom n1,\ldots,\binom nn,$$

正好是 $(a+b)^n$ 展开式的各项系数。

2. 字母指数的规律

展开 $(a+b)^n$ 时：

• $a$ 的指数从 $n$ 逐项递减到 $0$；
• $b$ 的指数从 $0$ 逐项递增到 $n$；
• 每一项中 $a$、$b$ 的指数和均为 $n$。

例如

$$(a+b)^4 =a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4.$$

3. 二项式定理

对于非负整数 $n$，

$$\boxed{ (a+b)^n =\sum_{k=0}^{n} \binom nk a^{n-k}b^k }.$$

第 $k+1$ 项为

$$\boxed{ T_{k+1}=\binom nk a^{n-k}b^k }.$$

对于 $(a-b)^n$，把 $b$ 换成 $-b$：

$$\boxed{ (a-b)^n =\sum_{k=0}^{n} (-1)^k\binom nk a^{n-k}b^k }.$$

4. 与广义二项式展开的关系

• 当指数 $n$ 是非负整数时，二项式展开在第 $n$ 次项后终止，可用杨辉三角求系数；
• 当指数为任意实数 $\alpha$ 时，通常得到无限级数，即

$$(1+x)^\alpha =\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n, \qquad |x|<1.$$

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前几天主要在做练习题，加上考科目三练车考试四天。
搞得除了英语还在背单词外，都没怎么学新东西。
今天翻开了习题册做了会，对我来说有些难啊😭。
花了好长时间才做了几题，只能之后继续加油了。