常用高阶导数公式 · Yukki 的个人站

设 $f^{(n)}(x)$ 表示函数 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数。

一、常见函数的高阶导数

若 $f(x)=x^m$ ，则

\boxed{ f^{(n)}(x) =m(m-1)\cdots(m-n+1)x^{m-n} }

当 $m$ 为非负整数且 $n\le m$ 时，也可以写成

\boxed{ (x^m)^{(n)} =\frac{m!}{(m-n)!}x^{m-n} }

若 $n>m$ ，则 $\boxed{(x^m)^{(n)}=0}$ 。

更一般地，对任意实数 $\alpha$ ：

\boxed{ (x^\alpha)^{(n)} =\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)x^{\alpha-n} }

\boxed{(e^x)^{(n)}=e^x}

更常用的形式为

\boxed{ (e^{ax+b})^{(n)}=a^n e^{ax+b} }

对于一般指数函数：

\boxed{ (a^x)^{(n)}=(\ln a)^n a^x }

\boxed{ (\sin x)^{(n)} =\sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right) }

其导数按以下顺序循环：

\sin x\to\cos x\to-\sin x\to-\cos x\to\sin x

若 $f(x)=\sin(ax+b)$ ，则

\boxed{ f^{(n)}(x) =a^n\sin\left(ax+b+\frac{n\pi}{2}\right) }

\boxed{ (\cos x)^{(n)} =\cos\left(x+\frac{n\pi}{2}\right) }

因此

\boxed{ [\cos(ax+b)]^{(n)} =a^n\cos\left(ax+b+\frac{n\pi}{2}\right) }

当 $n\ge 1$ 时：

\boxed{ (\ln x)^{(n)} =(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n} }

例如：

(\ln x)'=\frac{1}{x},\qquad (\ln x)''=-\frac{1}{x^2},\qquad (\ln x)'''=\frac{2}{x^3}

更一般地：

\boxed{ [\ln(ax+b)]^{(n)} =(-1)^{n-1}(n-1)!\frac{a^n}{(ax+b)^n} }

由于 $\frac{1}{x}=x^{-1}$ ，因此

\boxed{ \left(\frac{1}{x}\right)^{(n)} =(-1)^n\frac{n!}{x^{n+1}} }

更常见的形式为

\boxed{ \left(\frac{1}{ax+b}\right)^{(n)} =(-1)^n n!\frac{a^n}{(ax+b)^{n+1}} }

一般地，若 $f(x)=(ax+b)^\alpha$ ，则

\boxed{ f^{(n)}(x) =a^n\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1) (ax+b)^{\alpha-n} }

这个公式对处理一次函数幂的高阶导数十分实用。

若 $y=u(x)v(x)$ ，则莱布尼茨公式为

\boxed{ (uv)^{(n)} =\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} u^{(k)}v^{(n-k)} }

重点： 高阶求导题中，莱布尼茨公式以及指数函数、三角函数的高阶导数最为常用。