一元函数的可微性与微分

一、函数增量与可微

设 $y=f(x)$ 。当自变量从 $x$ 变为 $x+\Delta x$ 时，函数的实际变化量为

\boxed{\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)}

其中：

若当 $\Delta x\to0$ 时，函数增量可以写成

\boxed{\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)}

其中 $A$ 与 $\Delta x$ 无关，则称函数在该点可微。

对一元函数而言， $A=f'(x)$ ，因此可微的标准形式为

\boxed{\Delta y=f'(x)\Delta x+o(\Delta x)}

其中， $f'(x)\Delta x$ 是线性主部， $o(\Delta x)$ 是比 $\Delta x$ 更高阶的无穷小。

对一元函数：

\boxed{\text{可微}\iff\text{可导}}

证明思路：由

\Delta y=f'(x)\Delta x+o(\Delta x)

两边除以 $\Delta x$ ，得到

\frac{\Delta y}{\Delta x} =f'(x)+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}

因为 $\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\to0$ ，所以

\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)

这正是导数的定义。因此：

\boxed{\text{可微}\iff\text{可导}\Rightarrow\text{连续}}

注意： 连续不一定可导。

在

\Delta y=f'(x)\Delta x+o(\Delta x)

中，将线性主部 $f'(x)\Delta x$ 定义为函数的微分。规定

\boxed{dx=\Delta x}

于是

\boxed{dy=f'(x)\,dx}

微分与实际增量之间的关系为

\boxed{\Delta y=dy+o(dx)}

概念	表达式	含义
实际增量	$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$	函数值的真实变化量
微分	$dy=f'(x)\,dx$	实际增量的线性主部

当 $dx$ 很小时：

\boxed{\Delta y\approx dy}

注意： $dy$ 本身有精确定义；只有用 $dy$ 近似 $\Delta y$ 时，才涉及近似。

$f'(x)$ 表示函数在某一点处的瞬时变化率，而自变量实际改变有限的 $\Delta x$ 后，函数在这段区间内的斜率可能发生变化。因此一般有

\Delta y\ne f'(x)\Delta x

更准确地说：

\boxed{\Delta y=f'(x)\Delta x+o(\Delta x)}

误差来自函数的非线性部分。

若函数本身是直线 $y=ax+b$ ，则

\Delta y=a\Delta x,\qquad dy=a\,dx

由于 $dx=\Delta x$ ，所以

\boxed{\Delta y=dy}

此时不存在近似误差。

导数

\boxed{ f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} }

是精确的极限值。近似的是

\boxed{\Delta y\approx f'(x)\Delta x}

也就是 $\boxed{\Delta y\approx dy}$ 。

因此要区分：

\boxed{\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)}

\boxed{ \text{可微}\iff \Delta y=f'(x)\Delta x+o(\Delta x) }

\boxed{dy=f'(x)\,dx,\qquad dx=\Delta x}

\boxed{\Delta y=dy+o(dx)}

重点： 导数是精确的极限值，微分是实际增量的线性主部。

请记住：

\boxed{\text{可微}\iff\text{可导}\Rightarrow\text{连续}}

以及

\boxed{\Delta y=f'(x)\Delta x+o(\Delta x)}

这两个式子串联了可导、可微与微分之间的关系。

怎么数学越学越多不会的，
何时才是个头。
学的越多=越多不会，越多不会=会的越少
所以学的越多，会的越少？
我陷入了可怕的循环😨。

我累了，看看可爱的贵贵😊 中岛由贵