三个中值定理

罗尔定理

条件

设函数 $f(x)$ 满足：

1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
2. 在开区间 $(a,b)$ 内可导；
3. $f(a)=f(b)$。

结论

至少存在一点 $\xi\in(a,b)$，使得

$$\boxed{f'(\xi)=0}$$

几何意义

当函数在区间两端的高度相同，即 $f(a)=f(b)$ 时，曲线中间至少存在一点，其切线是水平的，也就是切线斜率为 0。

为什么成立

如果函数不是常数，由于 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，所以一定能取得最大值和最小值。又因为 $f(a)=f(b)$，因此至少有一个最大值或最小值会出现在区间内部。

内部极值点又可导，根据

$$\boxed{\text{可导的极值点}\Rightarrow f'(\xi)=0}$$

即可得到罗尔定理。

拉格朗日中值定理

条件

设函数 $f(x)$ 满足：

1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
2. 在开区间 $(a,b)$ 内可导。

这里不再要求 $f(a)=f(b)$。

结论

至少存在一点 $\xi\in(a,b)$，使得

$$\boxed{f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$$

几何意义

$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 是两端点 $A(a,f(a))$、$B(b,f(b))$ 连线的斜率，而 $f'(\xi)$ 是曲线上某一点的切线斜率。

因此，曲线中间一定存在一条切线与两端点的连线平行，也可以理解为：

$$\boxed{\text{瞬时变化率}=\text{平均变化率}}$$

柯西中值定理

条件

设函数 $f(x)$、$g(x)$ 满足：

1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
2. 在开区间 $(a,b)$ 内可导。

结论

至少存在一点 $\xi\in(a,b)$，使得

$$\boxed{ [f(b)-f(a)]g'(\xi) = [g(b)-g(a)]f'(\xi) }$$

如果进一步有 $g'(\xi)\neq 0$ 且 $g(b)\neq g(a)$，则可以写成更常见的形式：

$$\boxed{ \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} }$$

几何意义

把 $x=g(t)$、$y=f(t)$ 看作一条参数曲线。在 $g(b)\neq g(a)$ 且 $g'(\xi)\neq 0$ 时，$\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ 表示两端点 $A(g(a),f(a))$、$B(g(b),f(b))$ 连线的斜率，而 $\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ 表示曲线上参数 $t=\xi$ 处的切线斜率。

因此，曲线中间至少存在一点，使该点的切线与两端点的连线平行，也可以理解为：

$$\boxed{ \text{两个函数的瞬时变化率之比} = \text{两个函数在区间内的总变化量之比} }$$

三个定理的关系

罗尔定理与拉格朗日中值定理

罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况。当 $f(a)=f(b)$ 时，拉格朗日公式变为

$$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$$

这正是罗尔定理的结论。

重点： 罗尔定理就是拉格朗日中值定理中 $f(a)=f(b)$ 的情况。

柯西定理与拉格朗日中值定理

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。

当取 $g(x)=x$ 时，有 $g'(x)=1$，于是柯西中值定理变成

$$\boxed{ f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} }$$

这正是拉格朗日中值定理。

关系链

$$\text{柯西中值定理} \xrightarrow{\,g(x)=x\,} \text{拉格朗日中值定理} \xrightarrow{\,f(a)=f(b)\,} \text{罗尔定理}$$

因此，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况，拉格朗日中值定理又是柯西中值定理的特殊情况。

对比总结

定理	条件	结论
罗尔定理	$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $f(a)=f(b)$	$\exists\xi\in(a,b)$，使 $f'(\xi)=0$
拉格朗日中值定理	$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导	$\exists\xi\in(a,b)$，使 $\displaystyle f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
柯西中值定理	$f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导	$\exists\xi\in(a,b)$，使 $\displaystyle [f(b)-f(a)]g'(\xi)=[g(b)-g(a)]f'(\xi)$

• 罗尔定理： 两端一样高，中间至少有一点的切线是水平的。
• 拉格朗日中值定理： 中间某点的瞬时斜率等于整段的平均斜率。
• 柯西中值定理： 中间某点两个函数的瞬时变化率之比，等于两函数在整段上的总变化量之比。

可以简单记为：

$$\boxed{ \text{罗尔：斜率为 }0 \quad\longrightarrow\quad \text{拉格朗日：一个函数的平均变化率} \quad\longrightarrow\quad \text{柯西：两个函数变化率之比} }$$

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明天再去学柯西中值定理，
不过其实这几个中值定理我以前就看过了，
不过总是忘记，不知道干嘛用的。
现在第二章题目已经全部做完了，第三章先把知识点学一下。
不然到时候看到题目啥都不会，我会很伤心的😭。