罗尔定理

条件

设函数 f(x)f(x) 满足：

  1. 在闭区间 [a,b][a,b] 上连续；
  2. 在开区间 (a,b)(a,b) 内可导；
  3. f(a)=f(b)f(a)=f(b)。

结论

至少存在一点 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)，使得

f′(ξ)=0\boxed{f'(\xi)=0}

几何意义

当函数在区间两端的高度相同，即 f(a)=f(b)f(a)=f(b) 时，曲线中间至少存在一点，其切线是水平的，也就是切线斜率为 0。

为什么成立

如果函数不是常数，由于 f(x)f(x) 在闭区间 [a,b][a,b] 上连续，所以一定能取得最大值和最小值。又因为 f(a)=f(b)f(a)=f(b)，因此至少有一个最大值或最小值会出现在区间内部。

内部极值点又可导，根据

可导的极值点⇒f′(ξ)=0\boxed{\text{可导的极值点}\Rightarrow f'(\xi)=0}

即可得到罗尔定理。

拉格朗日中值定理

条件

设函数 f(x)f(x) 满足：

  1. 在闭区间 [a,b][a,b] 上连续；
  2. 在开区间 (a,b)(a,b) 内可导。

这里不再要求 f(a)=f(b)f(a)=f(b)。

结论

至少存在一点 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)，使得

f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a\boxed{f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}

几何意义

f(b)−f(a)b−a\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} 是两端点 A(a,f(a))A(a,f(a))、B(b,f(b))B(b,f(b)) 连线的斜率，而 f′(ξ)f'(\xi) 是曲线上某一点的切线斜率。

因此，曲线中间一定存在一条切线与两端点的连线平行，也可以理解为：

瞬时变化率=平均变化率\boxed{\text{瞬时变化率}=\text{平均变化率}}

两个定理的关系

罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况。当 f(a)=f(b)f(a)=f(b) 时，拉格朗日公式变为

f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a=0f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0

这正是罗尔定理的结论。

重点： 罗尔定理就是拉格朗日中值定理中 f(a)=f(b)f(a)=f(b) 的情况。

对比总结

定理 条件 结论
罗尔定理 [a,b][a,b] 上连续，(a,b)(a,b) 内可导，f(a)=f(b)f(a)=f(b) ∃ξ∈(a,b), f′(ξ)=0\exists\xi\in(a,b),\ f'(\xi)=0
拉格朗日中值定理 [a,b][a,b] 上连续，(a,b)(a,b) 内可导 ∃ξ∈(a,b), f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a\exists\xi\in(a,b),\ f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}
  • 罗尔定理： 两端一样高，中间有水平切线。
  • 拉格朗日中值定理： 中间某点的瞬时斜率等于整段的平均斜率。

明天再去学柯西中值定理，
不过其实这几个中值定理我以前就看过了，
不过总是忘记，不知道干嘛用的。
现在第二章题目已经全部做完了，第三章先把知识点学一下。
不然到时候看到题目啥都不会，我会很伤心的😭。

中岛由贵