补码的加减运算及判断溢出

补码回顾

以下均以 8 位补码为例。正数的补码与其普通二进制表示相同；负数的补码可由对应正数按位取反，再加 1得到。例如，$5=00000101$，取反得到 $11111010$，再加 1，便得到 $-5$ 的补码 $11111011$。

$n$ 位补码的表示范围是 $-2^{n-1}\sim 2^{n-1}-1$。因此，8 位补码的范围是 $-128\sim127$：$10000000$ 表示 $-128$，$01111111$ 表示 $127$。

补码加减运算

加法

正数和负数可以直接按二进制相加，只保留规定的位数。例如，$5+(-3)$：

  00000101    5
+ 11111101   -3
-----------
1 00000010

舍弃超出 8 位的进位后，得到 $00000010$，即 $2$。

减法

减去一个数，等于加上这个数的相反数：$A-B=A+(-B)$。例如，$5-7=5+(-7)$：

  00000101    5
+ 11111001   -7
-----------
  11111110

结果的最高位为 $1$。将 $11111110$ 取反加 1，得到 $00000010$，所以结果是 $-2$。

什么是溢出

若真实计算结果超出当前位数的补码表示范围，就发生了有符号溢出。例如，$100+50=150$，超出 8 位补码的上限 $127$：

  01100100   100
+ 00110010    50
-----------
  10010110

保留的 8 位是 $10010110$，按补码解释为负数，与真实结果 $150$ 不符。这就是溢出。

重点： 判断溢出要看真实结果能否用当前位数表示；截断后的补码仍可解释为某个数，但不能把它当作原运算的正确结果。

三种溢出判断方法

以下用 $V$ 表示有符号溢出标志：$V=0$ 为未溢出，$V=1$ 为溢出。

方法一：一位符号位

加法：同号相加，结果变号则溢出。 例如，上面的 $100+50$ 是两个正数相加，保留的结果却是负数。负数相加也一样：$-100+(-50)=-150$ 超出范围，8 位运算结果为 $01101010$，符号变成正数。一正一负相加不会发生有符号溢出。

减法：异号相减，结果与被减数变号则溢出。 例如，$100-(-50)=150$，计算时加上 $+50$，仍得到上面的 $10010110$：被减数为正，结果却被解释为负。类似地，$-100-50=-150$ 超出下限，8 位结果被解释为正数。同号相减不会发生有符号溢出。

口诀： 加法同号看变号；减法异号看结果是否与被减数变号。

对加法，设两个加数及结果的符号位分别为 $A_s$、$B_s$、$S_s$，则上述规则还可写成：

即“负数加负数却得正数”，或“正数加正数却得负数”时，$V=1$。减法直接按表中“被减数与减数异号，且结果与被减数异号”的规则判断。

方法二：符号位前后的进位

$5+(-3)$ 的计算产生了超出 8 位的进位 $1$，但保留的结果是正确的 $2$，没有有符号溢出。

• 进位（Carry） 关注最高位向外的进位，常用于判断无符号运算。
• 溢出（Overflow） 在这里指有符号补码的真实结果超出表示范围。

因此，不能只凭最高位有没有进位判断有符号溢出，要比较符号位前后的两次进位。

进行补码加法时，比较进入符号位的进位 $C_{\mathrm{in}}$ 与从符号位产生的进位 $C_{\mathrm{out}}$：

• 两者相同：没有有符号溢出。
• 两者不同：发生有符号溢出。

其逻辑式为 $V=C_{\mathrm{in}}\oplus C_{\mathrm{out}}$。例如，$100+50$ 的两次进位分别为 $1$ 和 $0$，所以溢出；$5+(-3)$ 的两次进位均为 $1$，所以没有溢出。

减法按固定位数计算 $A+\overline B+1$ 时，也比较这次运算进入和离开符号位的进位。这个方法与前面的符号判断规则等价。

方法三：双符号位

先将两个 $n$ 位补码操作数的符号位各复制一位，再用 $n+1$ 位进行运算。观察结果的两个最高位 $S_{s1}S_{s2}$（$S_{s1}$ 为高位符号位）：

两个符号位不同即溢出，故 $V=S_{s1}\oplus S_{s2}$。例如，8 位补码的 $100+50$ 用双符号位运算，结果为 $0\,10010110$，最高两位是 $01$，表示相对于原来的 8 位范围发生正溢出。减法同样先在扩展后的位数下转换为加法，再观察结果的两个符号位。