加减运算电路

一个加法器如何完成加减法

图中的 $X$、$Y$ 是两个 $n$ 位操作数，$F$ 是保留的 $n$ 位结果。Sub 同时控制 MUX 和加法器最低位的初始进位 $C_{\mathrm{in}}$：

Sub	MUX 送入加法器的数	$C_{\mathrm{in}}$	加法器完成的运算
$0$	$Y$	$0$	$X+Y$
$1$	$\overline Y$	$1$	$X+\overline Y+1$，即 $X-Y$

这里的 $\overline Y$ 是将 $n$ 位 $Y$ 逐位取反。因为在固定位数下 $-Y\equiv\overline Y+1\pmod{2^n}$，减法也能交给同一个加法器完成。反相器产生 $\overline Y$，MUX 根据 Sub 选择 $Y$ 或 $\overline Y$；Sub 还直接作为 $C_{\mathrm{in}}$。

重点： 加法选 $Y$、初始进位为 $0$；减法选 $\overline Y$、初始进位为 $1$。

以 4 位无符号数的 $5-3$ 为例，$X=0101$、$Y=0011$，Sub 为 $1$：

  0101     X = 5
+ 1100     Y 按位取反
+    1     Cin
------
1 0010

结果 $F=0010$，即 $2$；左边额外的 $1$ 是最高位的进位 $C_{\mathrm{out}}$。

为什么只保留低 $n$ 位

$n$ 位的 $F$ 只能保存运算结果的低 $n$ 位，相当于对 $2^n$ 取模：

$$F= \begin{cases} (X+Y)\bmod 2^n, & \mathrm{Sub}=0,\\ (X+\overline Y+1)\bmod 2^n, & \mathrm{Sub}=1. \end{cases}$$

例如，4 位运算 $1111+0001=1\,0000$，所以 $F=0000$，额外的 $1$ 进入 $C_{\mathrm{out}}$。

电路只处理位串，不决定它们是有符号数还是无符号数。 同一个 $1111$，按 4 位无符号数解释是 $15$，按 4 位补码解释是 $-1$。因此，同一个 $F$ 可以有不同的数值含义，还要结合状态标志判断本次运算。

四个状态标志

标志	含义	如何判断
ZF（Zero Flag，零标志）	结果是否为零	$F=0$ 时为 $1$
SF（Sign Flag，符号标志）	结果的最高位	等于 $F$ 的最高位
CF（Carry Flag，进位标志）	无符号加法的进位、无符号减法的借位	加法看 $C_{\mathrm{out}}$；减法按本文教材约定看 $\overline{C_{\mathrm{out}}}$
OF（Overflow Flag，溢出标志）	有符号补码运算是否超出表示范围	按操作数与结果的符号判断

ZF 与 SF

$F=0000$ 时，ZF 为 $1$；例如计算 $X-Y$ 得到零，可据此判断两个 $n$ 位操作数相等。

SF 直接复制 $F$ 的最高位。例如 $F=1110$ 时，SF 为 $1$。但 SF 不能单独说明真实计算结果是否为负数：若 OF 为 $1$，保留下来的符号位可能已因溢出而变号。

CF：无符号进位或借位

加法产生最高位进位时，$CF=C_{\mathrm{out}}=1$。例如 4 位无符号数 $15+1$ 得到 $1\,0000$，超出无符号范围 $0\sim15$，因此 CF 为 $1$。

减法在本电路中通过 $X+\overline Y+1$ 实现。此时 $C_{\mathrm{out}}=1$ 表示无符号数 $X\ge Y$，没有借位；$C_{\mathrm{out}}=0$ 表示 $X<Y$，发生借位。按本文教材的 CF 约定：

$$CF= \begin{cases} C_{\mathrm{out}}, & \mathrm{Sub}=0,\\ \overline{C_{\mathrm{out}}}, & \mathrm{Sub}=1. \end{cases}$$

因此，上面的 $5-3$ 有 $C_{\mathrm{out}}=1$、$CF=0$；而 4 位无符号数 $3-5$ 算得 $F=1110$、$C_{\mathrm{out}}=0$、$CF=1$，表示发生借位。

OF：有符号溢出

OF 判断真实结果是否超出 $n$ 位补码范围。例如 4 位补码只能表示 $-8\sim7$。计算 $7+3$ 得到 $F=1010$，它按补码解释为 $-6$，但真实结果 $10$ 超过上限，所以 $OF=1$。

符号判断规则是：同号相加，结果变号则溢出；异号相减，结果与被减数变号则溢出。 也可以比较进入与离开符号位的两次进位：不同则 OF 为 $1$。

CF 与 OF 可以不同

4 位运算	$F$	CF	OF	原因
$1111+0001$	$0000$	$1$	$0$	无符号数 $15+1$ 超出范围；补码 $-1+1=0$ 正常
$0111+0011$	$1010$	$0$	$1$	无符号数 $7+3=10$ 正常；补码 $7+3=10$ 超出范围

记住： CF 反映无符号运算的进位或借位，OF 反映有符号补码运算的溢出；二者要分别判断。

用减法比较大小

比较两个相同位数的数 $A$ 和 $B$ 时，先计算 $A-B$，再根据数的解释方式读取相应标志。无符号数主要看 ZF、CF；有符号补码数主要看 ZF、SF、OF。

无符号数比较

减法中，ZF 为 $1$ 表示结果为零；按本文的 CF 约定，CF 为 $1$ 表示发生借位，即 $A<B$。因此：

条件	关系
$ZF=1$	$A=B$
$ZF=0$ 且 $CF=0$	$A>B$
$CF=1$	$A<B$

例如，用 3 位无符号数计算 $000-001$，保留的结果为 $111$：结果非零，且减法发生借位，所以 $ZF=0$、$CF=1$，判断 $0<1$。这里不能把 $111$ 按无符号数读成 $7$ 后直接比较。

有符号数比较

若把 $A$、$B$ 当作补码有符号数，发生溢出时，结果符号位 SF 可能与真实差值的正负相反。用 $SF\oplus OF$ 修正符号，再结合 ZF 判断：

条件	关系
$ZF=1$	$A=B$
$ZF=0$ 且 $SF=OF$	$A>B$
$ZF=0$ 且 $SF\ne OF$	$A<B$

例如，3 位补码中 $011=+3$、$101=-3$：

• $+3-(-3)$ 的真实差值为 $+6$，超出 $-4\sim3$ 的范围；保留结果为 $110$，故 $ZF=0$、$SF=1$、$OF=1$。由于 $SF=OF$，判断 $+3>-3$。
• $-3-(+3)$ 的真实差值为 $-6$，同样溢出；保留结果为 $010$，故 $ZF=0$、$SF=0$、$OF=1$。由于 $SF\ne OF$，判断 $-3<+3$。

对照记忆： 无符号比较看 ZF、CF；有符号比较看 ZF、$SF\oplus OF$。

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其实我有点懵逼，
之后还得再多看几遍。
出生时早知道智力分配多些点数了😇。