以下公式中的 CC 均为任意常数。各公式在被积函数有定义的区间内使用；不同区间上的积分常数可以不同。

基本性质

不定积分具有线性性质：

∫[f(x)±g(x)] dx=∫f(x) dx±∫g(x) dx.\int [f(x)\pm g(x)]\,\mathrm{d}x =\int f(x)\,\mathrm{d}x\pm\int g(x)\,\mathrm{d}x. ∫kf(x) dx=k∫f(x) dx(k 为非零常数).\int kf(x)\,\mathrm{d}x=k\int f(x)\,\mathrm{d}x \qquad(k\text{ 为非零常数}).

计算时，最后统一写一个 CC 即可。

常数、幂函数与指数函数

常数与幂函数

∫k dx=kx+C(k 为常数).\int k\,\mathrm{d}x=kx+C \qquad(k\text{ 为常数}). ∫xα dx=xα+1α+1+C(α≠−1).\int x^{\alpha}\,\mathrm{d}x =\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C \qquad(\alpha\ne-1). ∫1x dx=ln⁡∣x∣+C(x≠0).\int\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln|x|+C \qquad(x\ne0).

重点： 幂函数积分是“指数加一，再除以新指数”；α=−1\alpha=-1 时必须单独使用对数公式。

指数函数

∫ax dx=axln⁡a+C(a>0, a≠1).\int a^x\,\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C \qquad(a>0,\ a\ne1). ∫ex dx=ex+C.\int e^x\,\mathrm{d}x=e^x+C.

三角函数

正弦、余弦

∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C,∫cos⁡x dx=sin⁡x+C.\begin{aligned} \int\sin x\,\mathrm{d}x&=-\cos x+C,\\[4pt] \int\cos x\,\mathrm{d}x&=\sin x+C. \end{aligned}

正切、余切

∫tan⁡x dx=−ln⁡∣cos⁡x∣+C,∫cot⁡x dx=ln⁡∣sin⁡x∣+C.\begin{aligned} \int\tan x\,\mathrm{d}x&=-\ln|\cos x|+C,\\[4pt] \int\cot x\,\mathrm{d}x&=\ln|\sin x|+C. \end{aligned}

正割、余割

∫sec⁡x dx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C,∫csc⁡x dx=ln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣+C.\begin{aligned} \int\sec x\,\mathrm{d}x&=\ln|\sec x+\tan x|+C,\\[4pt] \int\csc x\,\mathrm{d}x&=\ln|\csc x-\cot x|+C. \end{aligned}

余割的公式也可写成 ∫csc⁡x dx=−ln⁡∣csc⁡x+cot⁡x∣+C\displaystyle\int\csc x\,\mathrm{d}x=-\ln|\csc x+\cot x|+C。

平方型与乘积型

∫sec⁡2x dx=tan⁡x+C,∫csc⁡2x dx=−cot⁡x+C,∫sec⁡xtan⁡x dx=sec⁡x+C,∫csc⁡xcot⁡x dx=−csc⁡x+C.\begin{aligned} \int\sec^2x\,\mathrm{d}x&=\tan x+C,\\[4pt] \int\csc^2x\,\mathrm{d}x&=-\cot x+C,\\[4pt] \int\sec x\tan x\,\mathrm{d}x&=\sec x+C,\\[4pt] \int\csc x\cot x\,\mathrm{d}x&=-\csc x+C. \end{aligned}

平方和、平方差型

本节统一约定 a>0a>0。

反三角函数型

∫dx1−x2=arcsin⁡x+C(∣x∣<1).\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C \qquad(|x|<1). ∫dxa2−x2=arcsin⁡xa+C(∣x∣<a).\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}} =\arcsin\frac{x}{a}+C \qquad(|x|<a). ∫dx1+x2=arctan⁡x+C.\int\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan x+C. ∫dxa2+x2=1aarctan⁡xa+C.\int\frac{\mathrm{d}x}{a^2+x^2} =\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C.

对数型

∫dxx2+a2=ln⁡(x+x2+a2)+C.\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+a^2}} =\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C.

这里 x+x2+a2>0x+\sqrt{x^2+a^2}>0，所以对数内不必加绝对值。

∫dxx2−a2=ln⁡∣x+x2−a2∣+C(∣x∣>a).\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-a^2}} =\ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+C \qquad(|x|>a). ∫dxx2−a2=12aln⁡∣x−ax+a∣+C(x≠±a).\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2-a^2} =\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C \qquad(x\ne\pm a).

半圆根式型

∫a2−x2 dx=x2a2−x2+a22arcsin⁡xa+C(∣x∣<a).\int\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm{d}x =\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} +\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+C \qquad(|x|<a).

使用时注意

  • 不要漏写 CC，也不要漏掉对数公式中的绝对值。
  • 核对负号：sin⁡x\sin x、tan⁡x\tan x、csc⁡2x\csc^2x、csc⁡xcot⁡x\csc x\cot x 的上述积分结果均带负号。
  • 留意系数：∫dxa2+x2\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{a^2+x^2} 的结果有 1a\frac1a，而 ∫dxa2−x2\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}} 的结果没有这个系数。
  • 复合函数要匹配内层导数：若 F′(u)=f(u)F'(u)=f(u)，则 ∫f(u(x))u′(x) dx=F(u(x))+C\displaystyle\int f(u(x))u'(x)\,\mathrm{d}x=F(u(x))+C。特别地，∫f(kx+b) dx=1kF(kx+b)+C\displaystyle\int f(kx+b)\,\mathrm{d}x=\frac1kF(kx+b)+C，其中 k≠0k\ne0。
  • 不确定时求导检查：对积分结果求导，应还原为原被积函数。