定义与同角关系

定义式

直角三角形中，对锐角 AA，设对边为 aa、邻边为 bb、斜边为 cc：

函数 直角三角形定义 任意角坐标定义
正弦 sin⁡A=ac\sin A=\dfrac ac sin⁡θ=yr\sin\theta=\dfrac yr
余弦 cos⁡A=bc\cos A=\dfrac bc cos⁡θ=xr\cos\theta=\dfrac xr
正切 tan⁡A=ab\tan A=\dfrac ab tan⁡θ=yx\tan\theta=\dfrac yx
余切 cot⁡A=ba\cot A=\dfrac ba cot⁡θ=xy\cot\theta=\dfrac xy
正割 sec⁡A=cb\sec A=\dfrac cb sec⁡θ=rx\sec\theta=\dfrac rx
余割 csc⁡A=ca\csc A=\dfrac ca csc⁡θ=ry\csc\theta=\dfrac ry

坐标定义中，P(x,y)P(x,y) 是角 θ\theta 终边上的非原点，r=x2+y2>0r=\sqrt{x^2+y^2}>0。

倒数、商数与平方关系

倒数关系：

tan⁡αcot⁡α=1,sin⁡αcsc⁡α=1,cos⁡αsec⁡α=1.\tan\alpha\cot\alpha=1,\qquad \sin\alpha\csc\alpha=1,\qquad \cos\alpha\sec\alpha=1.

商数关系：

tan⁡α=sin⁡αcos⁡α,cot⁡α=cos⁡αsin⁡α.\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\qquad \cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}.

平方关系：

sin⁡2α+cos⁡2α=1,1+tan⁡2α=sec⁡2α,1+cot⁡2α=csc⁡2α.\begin{aligned} \sin^2\alpha+\cos^2\alpha&=1,\\ 1+\tan^2\alpha&=\sec^2\alpha,\\ 1+\cot^2\alpha&=\csc^2\alpha. \end{aligned}

诱导公式

终边相同的角

sin⁡(2kπ+α)=sin⁡α,cos⁡(2kπ+α)=cos⁡α,tan⁡(2kπ+α)=tan⁡α,cot⁡(2kπ+α)=cot⁡α.\begin{aligned} \sin(2k\pi+\alpha)&=\sin\alpha,\\ \cos(2k\pi+\alpha)&=\cos\alpha,\\ \tan(2k\pi+\alpha)&=\tan\alpha,\\ \cot(2k\pi+\alpha)&=\cot\alpha. \end{aligned}

负角、补角与周角

角 正弦 余弦 正切 余切
−α-\alpha −sin⁡α-\sin\alpha cos⁡α\cos\alpha −tan⁡α-\tan\alpha −cot⁡α-\cot\alpha
π+α\pi+\alpha −sin⁡α-\sin\alpha −cos⁡α-\cos\alpha tan⁡α\tan\alpha cot⁡α\cot\alpha
π−α\pi-\alpha sin⁡α\sin\alpha −cos⁡α-\cos\alpha −tan⁡α-\tan\alpha −cot⁡α-\cot\alpha
2π−α2\pi-\alpha −sin⁡α-\sin\alpha cos⁡α\cos\alpha −tan⁡α-\tan\alpha −cot⁡α-\cot\alpha

与直角的和差

sin⁡(π2+α)=cos⁡α,sin⁡(π2−α)=cos⁡α,cos⁡(π2+α)=−sin⁡α,cos⁡(π2−α)=sin⁡α,tan⁡(π2+α)=−cot⁡α,tan⁡(π2−α)=cot⁡α,cot⁡(π2+α)=−tan⁡α,cot⁡(π2−α)=tan⁡α.\begin{aligned} \sin\left(\frac\pi2+\alpha\right)&=\cos\alpha,& \sin\left(\frac\pi2-\alpha\right)&=\cos\alpha,\\ \cos\left(\frac\pi2+\alpha\right)&=-\sin\alpha,& \cos\left(\frac\pi2-\alpha\right)&=\sin\alpha,\\ \tan\left(\frac\pi2+\alpha\right)&=-\cot\alpha,& \tan\left(\frac\pi2-\alpha\right)&=\cot\alpha,\\ \cot\left(\frac\pi2+\alpha\right)&=-\tan\alpha,& \cot\left(\frac\pi2-\alpha\right)&=\tan\alpha. \end{aligned}

重点： 奇变偶不变，符号看象限。将角写成 nπ2±αn\dfrac\pi2\pm\alpha 时，nn 为奇数则交换函数名称（正弦与余弦、正切与余切），为偶数则不变；符号按原函数在对应象限的正负确定，判断时把 α\alpha 视为锐角。

和差公式与积和互化

两角和差公式

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β,cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β.\begin{aligned} \sin(\alpha\pm\beta)&=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta,\\ \cos(\alpha\pm\beta)&=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta. \end{aligned} tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β,tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β,cot⁡(α+β)=cot⁡αcot⁡β−1cot⁡α+cot⁡β,cot⁡(α−β)=cot⁡αcot⁡β+1cot⁡β−cot⁡α.\begin{aligned} \tan(\alpha+\beta)&=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta},\\ \tan(\alpha-\beta)&=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta},\\ \cot(\alpha+\beta)&=\frac{\cot\alpha\cot\beta-1}{\cot\alpha+\cot\beta},\\ \cot(\alpha-\beta)&=\frac{\cot\alpha\cot\beta+1}{\cot\beta-\cot\alpha}. \end{aligned}

记忆：正弦“正余、余正，符号同”；余弦“余余、正正，符号异”。正切分子做加减、分母做乘积，分子与分母中的符号相反。

三角和公式

sin⁡(α+β+γ)=sin⁡αcos⁡βcos⁡γ+cos⁡αsin⁡βcos⁡γ+cos⁡αcos⁡βsin⁡γ−sin⁡αsin⁡βsin⁡γ,cos⁡(α+β+γ)=cos⁡αcos⁡βcos⁡γ−cos⁡αsin⁡βsin⁡γ−sin⁡αcos⁡βsin⁡γ−sin⁡αsin⁡βcos⁡γ.\begin{aligned} \sin(\alpha+\beta+\gamma) &=\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma +\cos\alpha\sin\beta\cos\gamma\\ &\quad+\cos\alpha\cos\beta\sin\gamma -\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma,\\[4pt] \cos(\alpha+\beta+\gamma) &=\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma -\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma\\ &\quad-\sin\alpha\cos\beta\sin\gamma -\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma. \end{aligned}

积化和差

sin⁡αcos⁡β=sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)2,cos⁡αsin⁡β=sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)2,cos⁡αcos⁡β=cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)2,sin⁡αsin⁡β=−cos⁡(α+β)−cos⁡(α−β)2.\begin{aligned} \sin\alpha\cos\beta&=\frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}2,\\ \cos\alpha\sin\beta&=\frac{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}2,\\ \cos\alpha\cos\beta&=\frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}2,\\ \sin\alpha\sin\beta&=-\frac{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)}2. \end{aligned}

口诀：正余余正，正加正减；余余正正，余加负余减。

和差化积

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2,sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β2,cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2,cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2.\begin{aligned} \sin\alpha+\sin\beta&=2\sin\frac{\alpha+\beta}2\cos\frac{\alpha-\beta}2,\\ \sin\alpha-\sin\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}2\sin\frac{\alpha-\beta}2,\\ \cos\alpha+\cos\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}2\cos\frac{\alpha-\beta}2,\\ \cos\alpha-\cos\beta&=-2\sin\frac{\alpha+\beta}2\sin\frac{\alpha-\beta}2. \end{aligned}

重点： 积化和差系数为 12\dfrac12，角为 α+β\alpha+\beta、α−β\alpha-\beta；和差化积系数为 22，角为 α+β2\dfrac{\alpha+\beta}2、α−β2\dfrac{\alpha-\beta}2。余弦相减化积时有负号。

倍角、半角与降幂公式

二倍角与降幂

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α,cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α,tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α.\begin{aligned} \sin2\alpha&=2\sin\alpha\cos\alpha,\\ \cos2\alpha&=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\\ &=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha,\\ \tan2\alpha&=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}. \end{aligned}

将二倍角公式变形，可得降幂公式：

cos⁡2α=1+cos⁡2α2,sin⁡2α=1−cos⁡2α2.\cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}2,\qquad \sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}2.

三倍角

sin⁡3α=3sin⁡α−4sin⁡3α,cos⁡3α=4cos⁡3α−3cos⁡α.\begin{aligned} \sin3\alpha&=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha,\\ \cos3\alpha&=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha. \end{aligned}

乘积形式（60∘=π/360^\circ=\pi/3）：

sin⁡3α=4sin⁡αsin⁡(60∘−α)sin⁡(60∘+α),cos⁡3α=4cos⁡αcos⁡(60∘−α)cos⁡(60∘+α),tan⁡3α=tan⁡αtan⁡(60∘−α)tan⁡(60∘+α).\begin{aligned} \sin3\alpha&=4\sin\alpha\sin(60^\circ-\alpha)\sin(60^\circ+\alpha),\\ \cos3\alpha&=4\cos\alpha\cos(60^\circ-\alpha)\cos(60^\circ+\alpha),\\ \tan3\alpha&=\tan\alpha\tan(60^\circ-\alpha)\tan(60^\circ+\alpha). \end{aligned}

四倍角

sin⁡4α=4sin⁡αcos⁡α(1−2sin⁡2α),cos⁡4α=1−8cos⁡2α+8cos⁡4α,tan⁡4α=4tan⁡α−4tan⁡3α1−6tan⁡2α+tan⁡4α.\begin{aligned} \sin4\alpha&=4\sin\alpha\cos\alpha(1-2\sin^2\alpha),\\ \cos4\alpha&=1-8\cos^2\alpha+8\cos^4\alpha,\\ \tan4\alpha&=\frac{4\tan\alpha-4\tan^3\alpha}{1-6\tan^2\alpha+\tan^4\alpha}. \end{aligned}

五倍角

sin⁡5α=16sin⁡5α−20sin⁡3α+5sin⁡α,cos⁡5α=16cos⁡5α−20cos⁡3α+5cos⁡α,tan⁡5α=5tan⁡α−10tan⁡3α+tan⁡5α1−10tan⁡2α+5tan⁡4α.\begin{aligned} \sin5\alpha&=16\sin^5\alpha-20\sin^3\alpha+5\sin\alpha,\\ \cos5\alpha&=16\cos^5\alpha-20\cos^3\alpha+5\cos\alpha,\\ \tan5\alpha&=\frac{5\tan\alpha-10\tan^3\alpha+\tan^5\alpha}{1-10\tan^2\alpha+5\tan^4\alpha}. \end{aligned}

半角公式

sin⁡α2=±1−cos⁡α2,cos⁡α2=±1+cos⁡α2,tan⁡α2=±1−cos⁡α1+cos⁡α,cot⁡α2=±1+cos⁡α1−cos⁡α.\begin{aligned} \sin\frac\alpha2&=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}2},\\ \cos\frac\alpha2&=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}2},\\ \tan\frac\alpha2&=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}},\\ \cot\frac\alpha2&=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}. \end{aligned}

各式的正负由 α/2\alpha/2 所在象限中对应函数的符号决定。

tan⁡α2=sin⁡α1+cos⁡α=1−cos⁡αsin⁡α,cot⁡α2=1+cos⁡αsin⁡α=sin⁡α1−cos⁡α.\begin{aligned} \tan\frac\alpha2&=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} =\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha},\\ \cot\frac\alpha2&=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha} =\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}. \end{aligned}

分式形式分别要求相应分母非零，不能因等式连写而忽略各自的适用范围。

万能公式与辅助角公式

万能公式

令 t=tan⁡α2t=\tan\dfrac\alpha2，则

sin⁡α=2t1+t2,cos⁡α=1−t21+t2,tan⁡α=2t1−t2.\sin\alpha=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos\alpha=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad \tan\alpha=\frac{2t}{1-t^2}.

须有 α≠(2k+1)π\alpha\ne(2k+1)\pi，保证 tt 有定义；正切公式还须 t≠±1t\ne\pm1。

辅助角公式

当 (a,b)≠(0,0)(a,b)\ne(0,0)，令 R=a2+b2R=\sqrt{a^2+b^2}，并选择 φ\varphi 满足 cos⁡φ=a/R\cos\varphi=a/R、sin⁡φ=b/R\sin\varphi=b/R，则

asin⁡α+bcos⁡α=Rsin⁡(α+φ).\boxed{a\sin\alpha+b\cos\alpha=R\sin(\alpha+\varphi)}.

当 a≠0a\ne0 时有 tan⁡φ=b/a\tan\varphi=b/a，但仅凭这个商不能确定 φ\varphi 的象限，还须结合 a,ba,b 的符号。

三角形中的公式

设 △ABC\triangle ABC 的角 A,B,CA,B,C 所对边分别为 a,b,ca,b,c。

余弦定理

a2=b2+c2−2bccos⁡A,b2=c2+a2−2cacos⁡B,c2=a2+b2−2abcos⁡C.\begin{aligned} a^2&=b^2+c^2-2bc\cos A,\\ b^2&=c^2+a^2-2ca\cos B,\\ c^2&=a^2+b^2-2ab\cos C. \end{aligned}

面积公式

S△ABC=12absin⁡C=12bcsin⁡A=12casin⁡B.S_{\triangle ABC} =\frac12ab\sin C =\frac12bc\sin A =\frac12ca\sin B.

即三角形面积等于两边与其夹角正弦值乘积的一半。

反三角函数

定义域与主值范围

反三角函数是三角函数限制在适当区间后的反函数。下表同时约定本文中反余切、反正割、反余割的主值范围。

函数 定义域 主值范围
arcsin⁡x\arcsin x [−1,1][-1,1] [−π/2,π/2][-\pi/2,\pi/2]
arccos⁡x\arccos x [−1,1][-1,1] [0,π][0,\pi]
arctan⁡x\arctan x R\mathbb R (−π/2,π/2)(-\pi/2,\pi/2)
arccot⁡x\operatorname{arccot}x R\mathbb R (0,π)(0,\pi)
arcsec⁡x\operatorname{arcsec}x (−∞,−1]∪[1,+∞)(-\infty,-1]\cup[1,+\infty) [0,π]∖{π/2}[0,\pi]\setminus\{\pi/2\}
arccsc⁡x\operatorname{arccsc}x (−∞,−1]∪[1,+∞)(-\infty,-1]\cup[1,+\infty) [−π/2,π/2]∖{0}[-\pi/2,\pi/2]\setminus\{0\}

余角与负数关系

arccos⁡x=π2−arcsin⁡x,arccot⁡x=π2−arctan⁡x,arccsc⁡x=π2−arcsec⁡x.\begin{aligned} \arccos x&=\frac\pi2-\arcsin x,\\ \operatorname{arccot}x&=\frac\pi2-\arctan x,\\ \operatorname{arccsc}x&=\frac\pi2-\operatorname{arcsec}x. \end{aligned} arcsin⁡(−x)=−arcsin⁡x,arctan⁡(−x)=−arctan⁡x,arccos⁡(−x)=π−arccos⁡x,arccot⁡(−x)=π−arccot⁡x,arcsec⁡(−x)=π−arcsec⁡x,arccsc⁡(−x)=−arccsc⁡x.\begin{aligned} \arcsin(-x)&=-\arcsin x,\\ \arctan(-x)&=-\arctan x,\\ \arccos(-x)&=\pi-\arccos x,\\ \operatorname{arccot}(-x)&=\pi-\operatorname{arccot}x,\\ \operatorname{arcsec}(-x)&=\pi-\operatorname{arcsec}x,\\ \operatorname{arccsc}(-x)&=-\operatorname{arccsc}x. \end{aligned}

倒数关系

arcsec⁡x=arccos⁡1x,arccsc⁡x=arcsin⁡1x,∣x∣≥1.\operatorname{arcsec}x=\arccos\frac1x,\qquad \operatorname{arccsc}x=\arcsin\frac1x,\qquad |x|\ge1.

反过来，0<∣x∣≤10<|x|\le1 时，

arcsec⁡1x=arccos⁡x,arccsc⁡1x=arcsin⁡x.\operatorname{arcsec}\frac1x=\arccos x,\qquad \operatorname{arccsc}\frac1x=\arcsin x.

对于正切与余切，必须区分 xx 的正负：

arctan⁡1x={π2−arctan⁡x=arccot⁡x,x>0,−π2−arctan⁡x=arccot⁡x−π,x<0.\arctan\frac1x= \begin{cases} \dfrac\pi2-\arctan x=\operatorname{arccot}x,&x>0,\\[4pt] -\dfrac\pi2-\arctan x=\operatorname{arccot}x-\pi,&x<0. \end{cases} arccot⁡1x={π2−arccot⁡x=arctan⁡x,x>0,3π2−arccot⁡x=π+arctan⁡x,x<0.\operatorname{arccot}\frac1x= \begin{cases} \dfrac\pi2-\operatorname{arccot}x=\arctan x,&x>0,\\[4pt] \dfrac{3\pi}2-\operatorname{arccot}x=\pi+\arctan x,&x<0. \end{cases}

同角转换关系

0≤x≤10\le x\le1 时，

arccos⁡x=arcsin⁡1−x2,arccos⁡1−x21+x2=arcsin⁡2x1+x2,arccos⁡x=12arccos⁡(2x2−1),arcsin⁡x=12arccos⁡(1−2x2).\begin{aligned} \arccos x&=\arcsin\sqrt{1-x^2},\\ \arccos\frac{1-x^2}{1+x^2}&=\arcsin\frac{2x}{1+x^2},\\ \arccos x&=\frac12\arccos(2x^2-1),\\ \arcsin x&=\frac12\arccos(1-2x^2). \end{aligned} arcsin⁡x=arctan⁡x1−x2,−1<x<1.\arcsin x=\arctan\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},\qquad -1<x<1. arctan⁡x=arcsin⁡x1+x2,arccot⁡x=arccos⁡x1+x2,x∈R.\begin{aligned} \arctan x&=\arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}},\\ \operatorname{arccot}x&=\arccos\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}, \qquad x\in\mathbb R. \end{aligned}

复合关系与反正切和公式

sin⁡(arcsin⁡x)=x,−1≤x≤1,cos⁡(arccos⁡x)=x,−1≤x≤1,tan⁡(arctan⁡x)=x,x∈R,cot⁡(arccot⁡x)=x,x∈R.\begin{aligned} \sin(\arcsin x)&=x,&-1\le x\le1,\\ \cos(\arccos x)&=x,&-1\le x\le1,\\ \tan(\arctan x)&=x,&x\in\mathbb R,\\ \cot(\operatorname{arccot}x)&=x,&x\in\mathbb R. \end{aligned}

反向复合必须限制在主值区间内：

arcsin⁡(sin⁡x)=x,x∈[−π/2,π/2],arccos⁡(cos⁡x)=x,x∈[0,π],arctan⁡(tan⁡x)=x,x∈(−π/2,π/2),arccot⁡(cot⁡x)=x,x∈(0,π).\begin{aligned} \arcsin(\sin x)&=x,&x&\in[-\pi/2,\pi/2],\\ \arccos(\cos x)&=x,&x&\in[0,\pi],\\ \arctan(\tan x)&=x,&x&\in(-\pi/2,\pi/2),\\ \operatorname{arccot}(\cot x)&=x,&x&\in(0,\pi). \end{aligned}

当 arctan⁡x+arctan⁡y∈(−π/2,π/2)\arctan x+\arctan y\in(-\pi/2,\pi/2) 时（等价于 xy<1xy<1），

arctan⁡x+arctan⁡y=arctan⁡x+y1−xy.\arctan x+\arctan y=\arctan\frac{x+y}{1-xy}.

易错： sin⁡(arcsin⁡x)=x\sin(\arcsin x)=x 的定义域、值域均为 [−1,1][-1,1]，不能把 arcsin⁡x\arcsin x 的主值范围当成整个复合函数的值域；反正切和公式也不能省略适用条件。